Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

79
(2m+1)–i+j общих величин y
3t
и коррелированны, если i – j < 2m+1.
Следовательно, ряд Тy
3t
является более гладким по сравнению с y
3t
.
Сглаживание методом скользящего среднего чисто случайного ряда
порождает положительную коррелированность сглаженного ряда,
которая приводит к появлению периодичности (эффект Слуцкого–
Юла). Эти привнесенные процедурой сглаживания колебания могут
быть похожи на колебательные процессы, встречающиеся в эконо-
мике. Поэтому, выделяя тренд, необходимо быть уверенным, что эта
операция не порождает ложных колебательных процессов.
Сглаженный
ряд, полученный по методу скользящего среднего,
по-прежнему остается дискретным рядом, не имеющим аналитиче-
ского описания. Поэтому после процедуры сглаживания обычно ис-
пользуют один из двух методов:
–
аппроксимируют «гладкий» ряд подходящей гладкой функцией;
–
выполняют на отдельных интервалах полиномиальную ап-
проксимацию с припасовкой решений на границах интервалов из
условия непрерывности интервалов.
5.3. Сезонные колебания
Анализ сезонных колебаний облегчают два важных обстоятель-
ства:
−
период сезонных колебаний заранее известен;
−
сезонные колебания, как правило, выражены настолько ярко,
что нет необходимости доказывать их существование.
Простейшим способом выделения сезонных колебаний при ад-
дитивном представлении временного ряда
y
t
= y
1t
+ S
t
+ ε
t
,
где y
1t
– тренд, S
t
– сезонная составляющая, является использование
метода скользящего среднего с длиной интервала осреднения, рав-
ной периоду сезонных колебаний (подразд. 5.2)
Пусть Т – по-прежнему оператор осреднения. Ряд
y
t
– Ty
t
= (S
t
– TS
t
) + (ε
t
– Tε
t
)
в идеале не содержит тренда и состоит из сезонной компоненты
S
t
– TS
t
и сглаженной случайной составляющей ε
t
– Tε
t
.
Если влияние сезонности носит мультипликативный характер,
то есть
y
t
= y
1t
S
t
+ ε
t
,
80
то удобнее перейти к логарифмам
log y
t
= log y
1t
+ log S
t
+ η
t
.
Предположим, что тренд тем или иным способом выделен и ос-
тавшийся ряд U
t
, t = 1, 2, …, n представляет некоторый колебатель-
ный процесс и случайный остаток. Регулярным способом выделения
периодической (в том числе сезонной) составляющей является раз-
ложение ее в ряд Фурье. Напомним, что периодическая функция
U(t) разлагается в бесконечный ряд Фурье вида
1
() ( cos sin )
kk
k
Ut a k t b k t
∞
=
=
ω+ ω
∑
,
где
2
T
π
ω=
– основная (круговая) частота; Т – период основной частоты.
Если коэффициенты a
k
, b
k
найдены, то функция U(t) восстанав-
ливается по ним с любой степенью точности. Числовой ряд
22
=+
kkk
Aab, k = 1, 2, …
называется дискретным спектром периодической функции U(t), а
члены ряда
a
k
cos(kωt), b
k
sin(kωt) – гармоническими составляющими
или просто гармониками. Так как
А
k
→0, k→∞,
то, ограничиваясь конечным числом членов ряда, можно получить
приближенное спектральное представление функции
U(t) с любой
наперед заданной степенью точности.
Спектральный анализ временных рядов имеет одну существен-
ную особенность, связанную с конечным набором значений ряда
внутри периода основной частоты. Пусть в течение периода
Т про-
изведено
m наблюдений. Тогда внутри периода второй гармоники,
имеющего длину
T/2, окажется m/2 наблюдений. Продолжая вычис-
ления, получим, что для определения коэффициентов гармоники с
номером
m имеется всего одно наблюдение. Для получения более
или менее надежных результатов необходимо иметь хотя бы 3–4
наблюдения на половину периода. Если такой объем данных обес-
печить не удается, гармонический анализ вообще не имеет смысла.
В лучшем случае можно выделить первую гармонику.
Предположим, что необходимый объем данных имеется и число
наблюдений за
период Т равно m.

Страницы