Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

77
вправо, снова найдем среднее и присвоим его значение члену сгла-
женного ряда с номером m+2. Продолжим этот процесс до тех пор,
пока правый конец интервала не совпадет с последним членом ис-
ходного ряда. Вычислим последнее среднее и присвоим его значе-
ние элементу сглаженного ряда с номером n – (m+1). Результатом
проделанной операции
будет сглаженный ряд, имеющий дисперсию
в 2m+1 раз меньше, чем исходный. Случайные колебания будут в
какой-то степени сглажены. Недостатком нового ряда является от-
сутствие первых и последних m членов. Так что, если m достаточно
велико, хорошо сглаженный ряд может оказаться слишком корот-
ким. При небольших m сглаживание невелико. Выбор
оптимальной
длины интервала сглаживания определяется длиной исходного ряда,
целями сглаживания и некоторыми другими факторами, о которых
речь пойдет ниже.
Более совершенным способом сглаживания является аппрокси-
мация ряда на интервале сглаживания полиномом степени, не пре-
вышающей числа точек интервала. Пусть по-прежнему число чле-
нов интервала сглаживания нечетно и равно 2m+1<n
, а аппроксими-
рующий полином имеет степень k<2m+1:
y = a
0
+ a
1
t + … +a
k
t
k
.
Ради удобства изложения изменим нумерацию внутри интервала
сглаживания так, чтобы момент t = 0 соответствовал середине ин-
тервала. В результате значения членов ряда внутри интервала будут
обозначаться символами
y
–m
, y
–(m–1)
, …, y
0
, …, y
m–1
, y
m
..
Определим коэффициенты полинома методом наименьших
квадратов. Для а
0
имеем
a
0
= c
1
y
–m
+ c
2
y
–(m–1)
+ …+c
2m+1
y
m
,
причем коэффициенты c
i
зависят только от m и k и не зависят от ве-
личин y
i
.
Значение y в точке t = 0, то есть в середине интервала, равно a
0
:
y(0) = a
0
.
Так как коэффициенты c
i
не зависят от положения интервала
сглаживания на временном ряду, то, вычислив однажды коэффици-
енты c
i
, перемещая интервал длиной 2m+1 вдоль ряда и подставляя
соответствующие значения y
i
в выражении для а
0
,
получим сгла-
женный ряд, усеченный слева и справа на m членов.
78
В случае полиномиального сглаживания процедура дополнения
недостающих отрезков в начале и в конце очевидна. Достаточно на
первом и последнем шаге определить все коэффициенты a
i
и вычис-
лить недостающие значения сглаженного ряда подстановкой в по-
лученные полиномы соответствующих значений t: –m, –(m–1), …, –1
для первого отрезка; 1, 2, …, m для последнего отрезка.
До сих пор мы не говорили о том, как выбрать степень полинома
k и длину интервала сглаживания 2m+1. Простых критериев здесь
нет. Решение зависит от того, какие цели ставит исследователь, ин-
тересуется ли он остаточными эффектами или тренд выделяется,
главным образом, для изучения общей тенденции. Некоторую по-
мощь может оказать исследование влияния выделения тренда на
оставшиеся компоненты.
Пусть ряд состоит из трех частей: тренда y
1
, колебательной со-
ставляющей y
2
и случайного элемента y
3
:
y
t
= y
1t
+ y
2t
+ y
3t
.
Символом T обозначим операцию сглаживания методом сколь-
зящих средних:
Тy
t
=Т y
1t
+ Т y
2t
+Т y
3t
.
В идеале y
1t
=
Т y
1t
. Исключая тренд, получим остаток в виде
y
t
– Тy
t
= (y
2t
– Т y
2t
)+( y
3t
+Т y
3t
).
Рассмотрим качественно влияние выделения тренда на колеба-
тельную составляющую. Пусть вначале скользящая средняя есть
просто средняя за интервал сглаживания. Если длина интервала
2m+1 равна или кратна периоду колебательной составляющей, то
ряд y
2t
– Тy
2t
в идеале представляет чистые колебания, так как сред-
нее за период равно нулю. Этот очевидный факт весьма полезен для
выделения периодических составляющих ряда. Если 2m+1 сущест-
венно меньше периода колебаний, то они воспринимаются скользя-
щей средней как тренд и остаток y
2t
– Тy
2t
практически не содержит
колебательной составляющей или, по крайней мере, ее амплитуда
мала. Если интервал сглаживания больше периода, то результат
сглаживания зависит от соотношения их длин.
Рассмотрим влияние процедуры сглаживания на случайную
компоненту y
3t
. При обычном предположении о некоррелированно-
сти остатков y
3t
последовательные величины Тy
3t
, а значит и y
3t
– Тy
3t
,
уже не являются независимыми, так как значения y
3i
и Тy
3j
зависят от

Страницы