Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

93
()
1
11
*.
t
−
−−
εε
=aXKXXKy
Можно показать, что оценка а* является точкой минимума
обобщенного критерия
Q = 〈(y
*
–X
*
a), (y
*
–X
*
a)〉 = (y–Xa)
t
1
−
ε
K (y–Xa).
Для практического использования полученных результатов не-
обходимо знать матрицу K
ε
. Эта матрица, как правило, неизвестна, а
оценка ее элементов требует гораздо большего числа наблюдений,
чем это возможно в практических ситуациях. Обобщенный метод
практически реализуем, если на структуру матрицы наложить дос-
таточно жесткие ограничения. Один из таких случаев рассматрива-
ется в следующем подразделе.
6.3. Гетероскедастичность
Частным случаем обобщенной модели является ситуация, когда
корреляция случайных возмущений отсутствует, но их дисперсии
неодинаковы. Матрица K
ε
принимает вид
K
ε
=
2
1
2
2
00
0
0
⎛⎞
σ
⎜⎟
⎜⎟
σ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
σ
⎝⎠
m
,
причем
22
σ≠σ
ij
при
≠
ij. Такая модель называется гетероскеда-
стичной. Согласно теореме Айткена, вектор оценок имеет вид
a* = (X
t
K
–
ε
1
X) X
t
K
–
ε
1
y
и получается путем минимизации обобщенной суммы квадратов
отклонений
2
2
1
()
*.
n
i
i
i
i
yy
Q
=
−
=
σ
∑
Таким образом, обобщенный метод наименьших квадратов сво-
дится здесь к минимизации взвешенной суммы квадратов отклоне-
ний. Веса
2
1
i
σ обеспечивают «равный» вклад всех слагаемых.
Именно по этой причине оценка а* оказывается эффективной. Зна-
94
чения
2
σ
i
на практике, как правило, неизвестны. Для оценки дис-
персий можно использовать следующий прием.
Обычным методом наименьших квадратов вычисляются коэф-
фициенты a
i
и остатки e
j
, j = 1, 2, …, n. Квадраты остатков аппрок-
симируются функцией
() .=
∑
ij i j
ij
f
xaxx
По полученному уравнению регрессии квадратов остатков вы-
числяются их прогнозные значения
2
i
e
и оценки
2
=
ii
s
e . Пересчи-
тываются значения входных и выходных переменных
y
*i
= y
i
/s
i
,
x
*ij
= x
ij
/s
i
, j = 1, 2, …, m, i = 1, 2, …, n.
По новым взвешенным значениям переменных определяется
вектор оценок
а*. При необходимости описанную процедуру можно
повторять, придав ей итеративный характер, пока не будет получен
приемлемый результат.

Страницы