Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

97
1
(, ) (, )
() ()
KK
DD
ηξ ξε
α= +
ξξ
.
Заменяя корреляционные моменты и дисперсию выборочными
характеристиками и учитывая, что
1
ξ
η
=
s
ra
s
,
1
η
ξ
=
s
ar
s
,
последовательно получаем
1
22 2
(,) (,)
(,) (,)
ηη
ξηξ
ξη ξ ξ
ηξ ηξ
ξε ξε
α= + = +
Ks Ks
KK
sss
ss s s
.
Таким образом:
11
2
(,)
ξ
ξε
α= +
K
a
s
.
Корреляционный момент не обращается в нуль, в том числе при
n→∞. Следовательно, оценка a
1
коэффициента α
1
оказывается несо-
стоятельной и смещенной. В структурной модели переменные
x, y,
по сути дела, равноправны, так как, с вероятностной точки зрения,
пара (
x
i
, y
i
) есть просто реализация случайного вектора (x, y). Поэто-
му имеет смысл говорить о структурной зависимости между слу-
чайными величинами
х и y. Обобщая сказанное выше на многомер-
ный случай, обозначим
y через х
0
, а коэффициент α
0
положим рав-
ным единице. Тогда множественное линейное структурное уравне-
ние будет иметь вид
0=
α=
∑
m
jj
j
x
c ,
где
с – некоторая константа. Как и ранее, все переменные x
i
– слу-
чайные величины, измеренные с ошибками. Дословно повторяя
приведенные выше рассуждения для многомерного случая, прихо-
дим к аналогичному выводу: МНК-оценки коэффициентов ά
i
, c –
несостоятельные и смещенные.
Общий вид структурных уравнений можно получить, допуская
не одну, а несколько выходных переменных. Пусть
y – l-мерный, а х
–
m-мерный случайные векторы переменных, А, В – матрицы пара-
метров размером (
k×m) и (k×l) соответственно, ε – k-мерный вектор
случайных ошибок. Тогда
98
Ax + By = ε (7.2)
наиболее общая форма структурных уравнений. Роль случайных
векторов
х и y мы обсудим несколько позже. А сейчас рассмотрим
один из эффективных методов, применяемых для определения па-
раметров структурных уравнений, который называется методом ин-
струментальных переменных.
7.2. Метод инструментальных переменных
Метод инструментальных переменных рассмотрим для удобства
сравнения результатов на примере модели множественной регрес-
сии
y = Xα + ε,
для которой были получены МНК-оценки параметров α в виде
a = (X
t
X)
–1
X
t
y.
Если переменные x
j
, j = 1, 2, …, m также случайные, то, как было
показано выше, эти оценки смещенные и несостоятельные.
Метод инструментальных переменных заключается в том, что
подбираются новые переменные
z, которые наблюдаются одновре-
менно с переменными
х, коррелированы с х и не коррелированы с ε.
Эти переменные называются
инструментальными. Оценка пара-
метров
α имеет вид
a = (Z
t
X)
–1
Z
t
y, (7.3)
где
Z
t
,
X, y – наблюдаемые значения соответствующих переменных.
Докажем этот факт на примере парной регрессии. Ради простоты
изложения положим, что
х, y центрированы своими математически-
ми ожиданиями. Пусть, как и ранее, ξ
i
– наблюдаемое значение х, η
i
– наблюдаемое значение y. Обозначим через ζ
i
наблюдаемое значе-
ние инструментальной переменной
z. В этом случае оценка
коэффициента
α
1
имеет простейший вид
1
ς
η
=
ς
ξ
∑
ii
ii
a
или
1
ς
ξ= ςη
∑
∑
ii ii
a .

Страницы