Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

99
Подставляем ξ
i
и ζ
i
, получаем
a
1
∑ζ
i
(x
i
+ ε
i
) = ∑ζ
i
(α
1
x
i
+ δ
i
).
Так как, по предположению, ζ
i
не коррелированы с ε
i
и δ
i
, то
a
1
∑ζ
i
x
i
= α
1
∑ζ
i
x
i
.
Поскольку ζ
i
и x
i
коррелированы, следовательно:
a
1
→
ά
1
, i →
∞,
то есть оценка состоятельна. Аналогичным образом можно полу-
чить соответствующий результат и для многомерного структурного
уравнения.
7.3. Двухшаговый метод наименьших квадратов
К сожалению, определить регулярными методами оптимальный
набор инструментальных переменных не представляется возмож-
ным из-за предъявляемых к ним жестких требований:
– одновременная наблюдаемость с исходными переменными;
– экономический смысл;
– коррелированность с исходными переменными;
– некоррелированность с ошибками регрессии.
Поэтому в практике используют так называемый двухшаговый
метод, суть которого состоит в следующем.
Пусть
найден произвольный набор инструментальных перемен-
ных
z
j
, имеющих экономический смысл и не коррелированных с
ошибками регрессии. Обозначим через
Z матрицу наблюдаемых
значений
z
j
. Рассмотрим регрессию переменных x
j
по переменным z
j
.
Это можно сделать, так как значения
z
j
и x
j
наблюдаются одновре-
менно. Если
β – вектор коэффициентов регрессии, то
x
(j)
= Zβ
(j)
+ V , (7.4)
где
V – вектор случайных возмущений. Оценка β
(j)
имеет вид
b
(i)
= (Z
t
Z)
–1
Z
t
x
(j)
(7.5)
для всех
i = 1, 2, …, m.
Определим аппроксимированные значения
()j
x
()
() 1 ()
()
j
jttj
x
x
−
==Zb Z Z Z Z
100
и примем их за инструментальные переменные. Коррелированность
()j
x
с
()j
x
очевидна. В то же время x
(j)
не коррелированы с ошибка-
ми, так как выражаются в виде линейных комбинаций исходных
инструментальных переменных
z
(j)
.
Вычисления
()j
x
, j = 1, 2, …, m, есть первый шаг двухшаговой
процедуры. На втором шаге, используя инструментальные перемен-
ные
()j
x
, получим оценки вектора a
a = (X
t
X)
–1
X
t
y, (7.6)
где X = Z(Z
t
Z)
–1
Z
t
X – матрица выборочных значений инструмен-
тальных переменных
()j
x
, в которой эти векторы являются столб-
цами.
Следующий пример достаточно наглядно демонстрирует как
проблемы, связанные со структурными уравнениями, так и методы
их решения.
Рассмотрим зависимость потерь электроэнергии от электриче-
ских нагрузок потребителей некоторого района. Пусть
y – суммар-
ные часовые потери электроэнергии, а
х
1
, х
2
, …, х
m
– мощности на-
грузок комплексных потребителей (город, район, поселок и т. д.).
Все указанные величины – случайные. Их значения одновременно
фиксируются каждый час в течение суток. Таким образом, выборку
составляют наборы
y
i
, x
1i
, x
2i
, …, x
mi
, i = 1, 2, …, n, n = 24. Предпола-
гается, что потери линейно зависят от мощности нагрузки и, следо-
вательно, структурное уравнение имеет вид
0
1
=
=
α+ α +ε
∑
m
jj
j
yx.
Здесь
α
0
– технические потери, не зависящие от нагрузок потре-
бителей. Совершенно очевидно, что переменные
х
j
коррелируют с
ошибкой ε, так как последняя равна сумме ошибок измерений и
случайных возмущений, вносимых каждым потребителем:
1=
ε
=αε
∑
m
jj
j
.
Поставленная задача интересна тем, что инструментальные пе-
ременные здесь определяются естественным путем. Действительно,
нагрузка каждого комплексного потребителя представляет комби-

Страницы