Составители:
Рубрика:
95
7. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И СТРУКТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
7.1. Основные определения и понятия
В классическом регрессионном анализе входные переменные
являлись неслучайными величинами, а случайные ошибки были
связаны только с выходной переменной. Такая постановка задачи
вполне правомерна в тех случаях, когда значения выходной пере-
менной наблюдаются при заранее заданных, фиксированных значе-
ниях входных переменных. Так, при анализе большинства времен-
ных рядов значения входной переменной фиксируются
в строго оп-
ределенные моменты времени и, как правило, с одинаковыми ин-
тервалами между ними. В то же время существует обширный круг
задач, в которых как выходная, так и входные переменные – слу-
чайные величины. В таких задачах деление переменных на входные
и выходные определяется их экономическими свойствами. С мате-
матической
точки зрения, эти переменные равноправны, и задача
может быть сформулирована следующим образом. Имеется
n реали-
заций некоторой многомерной случайной величины. Необходимо
выяснить структурные соотношения между ними.
Поясним смысл понятия «структурные соотношения». Начнем с
самого простого случая линейного парного соотношения. Пусть две
математические величины заданы соотношением
y = α
0
+ α
1
x. (7.1)
Такое соотношение называется функциональным. Для определе-
ния
α
0
, α
1
достаточно знать две пары значений (x, y) – две точки на
плоскости
x, y.
В экспериментальных науках, в том числе в эконометрике, для
определения
α
0
, α
1
из опыта получают набор из n значений x
i
, y
i
и
вычисляют осредненные в среднеквадратичном смысле коэффици-
енты
a
0
, a
1
. При этом, если значения x
i
не случайны, мы имеем дело
с классическим регрессионным анализом. Но во многих задачах
эконометрики входная переменная
x – также случайная величина, а
выборочные значения
x
i
есть отдельные реализации х. Механизм
случайности имеет двоякую природу. Зависимость
y(x) может быть
функциональной, и тогда механизм случайности связан с ошибками
измерения. Так, измеряя многократно ток и напряжение на участке
электрической цепи при неизменных условиях, мы можем получать
различающиеся данные за счет ошибок измерения. Зависимость
y(x)
96
может быть случайной по существу, то есть соотношение между y и
x может носить вероятностный характер и описываться некоторой
двумерной функцией распределения, причем пара (
x
i
, y
i
) в выборке
является реализацией случайного вектора (
x, y). Так, изучая соот-
ношение между ростом и весом человека по выборке, мы имеем де-
ло именно с такой ситуацией. Наконец, допуская, что при измере-
нии роста и веса могут быть ошибки измерения, получаем полное
структурное соотношение между двумя случайными переменными.
Переведем его на язык статистики. Ради простоты изложения рас-
смотрим
приведенную выше функциональную модель (7.1). Пусть
теперь
x, y – случайные величины, а ξ и η – их наблюдаемые значе-
ния. Функциональной модели (7.1) соответствует следующая струк-
турная модель:
y
i
= ά
0
+ ά
1
x
i
,
ξ
i
= x
i
+ ε
i
,
η
i
=y
i
+ δ
i
,
i = 1, 2, …, n.
Дополнительно сделаем следующие предположения:
M(ε
i
) = M(δ
i
) = 0;
D
(ε
i
) =
2
ε
σ
, D(δ
i
) =
2
δ
σ
;
K
(ε, δ) = K(x, ε) = K(x, δ) = K(y, ε) = K(y, δ) = 0.
Покажем, что для оценивания α
0
, α
1
нельзя использовать аппа-
рат метода наименьших квадратов.
Подставим
x
i
, y
i
в структурное соотношение
η
i
– δ
i
= α
0
+ α
1
(ξ
i
–ε
i
)
или
η
i
= α
0
+ α
1
ξ
i
+ (δ
i
– α
1
ε
i
).
Найдем ковариацию η с ξ.
K(η,ξ) = K(α
0
, ξ) + α
1
K(ξ, ξ) + K(ξ, δ) – α
1
K(ξ, ε).
Так как K(α
0
, ξ) = K(ξ, δ)=0 и K(ξ, ξ)=D(ξ), то
K(η, ξ) = α
1
D(ξ) – K(ξ, ε)
или
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
