Составители:
Рубрика:
103
структурных уравнений относительно эндогенных переменных у,
выразив их через экзогенные переменные
х:
у = –В
–1
Ах + В
–1
ε. (7.8)
Так как экзогенные переменные не коррелированы с ошибками,
то для каждого уравнения системы (7.8) можно применить обычный
метод наименьших квадратов, причем МНК-оценки параметров бу-
дут состоятельные, несмещенные и эффективные. Результатом этой
операции будет матрица оценок В
–1
А. Если к тому же удается выра-
зить элементы матриц А и В через элементы матрицы В
–1
А, то мож-
но получить оценки матриц А и В –
A и
B
соответственно. Изло-
женный метод носит название косвенного метода наименьших
квадратов.
Необходимым условием его применимости является разреши-
мость структурных уравнений относительно эндогенных перемен-
ных. Но это условие гарантирует только получение оценок коэффи-
циентов В
–1
А преобразованных уравнений. Для получения косвен-
ных МНК-оценок
A и
B
необходимо (и достаточно), чтобы суще-
ствовало обратное преобразование коэффициентов
В
–1
А→ А, В.
Обратное преобразование возможно, если матрицы А и В с од-
ной стороны и матрица В
–1
А с другой стороны имеют одинаковое
количество ненулевых элементов. Если указанное условие не вы-
полняется, то косвенный метод наименьших квадратов неприменим.
В этом случае возникает проблема идентифицируемости параметров
структурной системы.
Структурный параметр называется
идентифицируемым, если он
может быть однозначно определен с помощью косвенного метода
наименьших квадратов. В противном случае он называется
неиден-
тифицируемым.
Структурный параметр называется
сверхидентифицируемым,
если метод наименьших квадратов дает для него несколько различ-
ных оценок. Аналогичная терминология применяется для уравнений
и системы в целом. Если хотя бы один коэффициент уравнения не
может быть определен, уравнение называют неидентифицируемым.
В этом случае система в целом также неидентифицируема.
Метод инструментальных переменных, изложенный в подразд. 7.2,
естественно, применим и
для систем одновременных уравнений, кото-
рые, по существу, являются структурными уравнениями.
104
Если система идентифицируема, то экзогенные переменные ис-
пользуются в качестве инструментальных переменных. Получаемые
при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наи-
меньших квадратов.
Сложнее обстоит дело, если система неидентифицируема. В
этом случае к экзогенным переменным, используемым в качестве
инструментальных, необходимо добавить некоторое количество
«внешних» инструментальных переменных, наблюдаемых одновре-
менно
со структурными переменными.
Соответствующие процедуры изложены в подразд. 7.2.
7.5. Одновременное оценивание структурных уравнений.
Трехшаговый метод наименьших квадратов
Косвенный метод сводится, по сути дела, к обычному методу
наименьших квадратов для каждого из разрешенных относительно
y
j
уравнений
y
= B
–1
Ax + B
–1
ε.
Введем обозначения
δ
= В
–1
ε.
Из определения вектора δ следует, что его составляющие корре-
лируют, то есть
K(δ
i
, δ
j
) ≠ 0.
Поэтому можно применить ко всей системе одновременно
обобщенный метод наименьших квадратов. Такой прием зачастую
повышает точность оценок коэффициентов структурных уравнений.
Ввиду громоздкости записи необходимых соотношений в общем
виде, для иллюстрации метода ограничимся двумя уравнениями,
разрешенными относительно эндогенных переменных:
y
1
= ‹β
1
, x› + ε
1
;
y
2
= ‹β
2
, x› + ε
2
.
Регрессионная модель имеет вид
y
1
= X
1
β
1
+ ε
1
;
y
2
= X
2
β
2
+ ε
2
.
Объединим обе модели в одну. Введем обозначения сложных
векторов и матриц
1
2
y
y
=
y ,
1
2
β
=
β
β ,
1
2
ε
=
ε
ε ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
