Составители:
Рубрика:
107
ложных: полностью рандомизированном и линейном оптимальном.
Первый план предполагает полную случайность и независимость в
расположении точек плана, чем исключается влияние на результат
той или иной упорядоченности в проведении экспериментов. Вто-
рой план полностью детерминированный. Его цель – минимизация
количества опытов и вычислений при сохранении достаточной на-
дежности выводов.
Для обработки и анализа
результатов мы, наряду с регрессионным
анализом, будем использовать методы дисперсионного анализа.
8.1. Полностью рандомизированный план.
Дисперсионный анализ
Предположим, что выходная переменная х зависит от несколь-
ких факторов
А, В, …, которые могут принимать как количествен-
ные, так и качественные уровни, которые мы будем обозначать теми
же буквами с индексами
A
i
, B
i
, …. При каждом сочетании факторов
сделано одинаковое количество наблюдений величины
х. Необхо-
димо выяснить, влияют ли эти факторы на выходную переменную
х.
Если такое влияние обнаружено, то следует оценить степень влия-
ния отдельных уровней и при необходимости, упорядочив уровни
по степени влияния, создать дискретную модель изучаемого объекта
или процесcа.
8.1.1. Однофакторный эксперимент
Пусть оценивается влияние на выходную переменную х единст-
венного фактора
А, имеющего m уровней А
1
, А
2
, …, А
m
. На каждом
уровне путем случайной выборки получено
n значений величины х.
Таким образом, имеется
mn значений x
ij
, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Вычислим среднее для каждого уровня фактора
1
=
∑
iij
j
x
x
n
и среднее по всей выборке
,
1
..
=
∑
ij
ij
x
x
mn
.
По сути дела, вопрос ставится так: «Насколько значимо разли-
чие средних
i
x
и общего среднего ..
x
? Вызвано ли это различие
действием фактора
А или оно совершенно случайно?»
108
Этот вопрос можно было бы решить применением t-критерия
Стьюдента, приняв за нулевую гипотезу равенство
1
.. . .
=
==…
n
x
xx
Однако более надежным является сравнение дисперсий. Этот
прием мы уже использовали для оценки значимости уравнений рег-
рессии. Совокупность методов, основанных на анализе дисперсий,
называется
дисперсионным анализом. Рассмотрим основные приемы
дисперсионного анализа на примере однофакторного эксперимента.
Как уже известно читателю, изменчивость случайной величины
оценивается суммой квадратов ее отклонений от среднего значения
или соответствующей дисперсией. Вычислим следующие суммы
квадратов:
общая сумма квадратов
2
,
( ..)=−
∑
ij
ij
Qxx;
сумма квадратов между испытаниями
2
1
( . ..)
=
=−
∑
m
Ai
i
Qnxx;
сумма квадратов внутри испытаний (остаточная сумма квад-
ратов)
0
11
(.)
==
=−
∑∑
mn
ij i
ij
Qxx.
Можно доказать путем раскрытия скобок и соответствующих
преобразований, что
Q = Q
A
+ Q
0
.
Это означает, что общую изменчивость Q мы разложили на из-
менчивость, вызванную действием фактора
Q
A
, и изменчивость,
обусловленную случайными причинами
Q
0
. Разделив суммы квад-
ратов на число степеней свободы, получим соответствующие оцен-
ки дисперсий:
общая дисперсия
2
1
=
−
Q
s
mn
;
дисперсия факторов
2
1
=
−
A
A
Q
s
m
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
