Составители:
Рубрика:
125
тором дисперсия оценки функции у в некоторой точке зависит лишь
от расстояния этой точки до центра плана. Эти и другие интересные
варианты ЦКП читатель найдет в работе [6].
8.4. Поиск экстремума функции отклика
Одной из центральных задач планирования эксперимента явля-
ется поиск экстремума функции отклика. Задачи такого типа возни-
кают при оптимизации технологических процессов, экономических
показателей работы
предприятий, регионов и экономики в целом,
при разработке различных проектов и т. д. При всем различии кон-
кретных постановок, суть всех подобных задач состоит в определе-
нии такого набора значений входных переменных (факторов), при
котором выходная переменная (функция отклика), называемая так-
же целевой функцией, принимает минимальное или максимальное
значение. Экономические
задачи такого типа формируются обычно
как задачи максимизации прибыли, минимизации себестоимости
продукции, издержек производства и т. д.
В классической постановке при решении подобных задач пред-
полагается известной аналитическая зависимость целевой функции
от входных переменных
y = f(x
1
, …, x
m
).
В зависимости от вида целевой функции используются методы
линейного, нелинейного и динамического программирования, цело-
численного программирования и т. п. К сожалению, во многих прак-
тически важных экономических и технологических задачах вид
целевой функции неизвестен, а зависимость выходной переменной
от входных носит вероятностный характер. Кроме того, решения на
управление процессом принимаются в
ходе самого процесса, зачас-
тую в режиме реального времени. В этих условиях для поиска экс-
тремума целевой функции весьма эффективно применение методов
планирования экспериментов.
Ради определенности предположим, что необходимо определить
максимум функции
y=f(x), причем текущее значение выходной у
0
и
входных
х
(0)
переменных известно. Примем эту точку за централь-
ную точку плана, определим абсолютные значения возможных ва-
риаций переменных ±∆
х
i
, i = 1, 2, …, m и нормируем переменные
так, как это было сделано в подрзд. 8.2. Обозначения функции и пе-
ременные сохраним прежними. Предполагается, что переменные,
126
которые должны регулироваться, измеримы и могут варьироваться в
небольших пределах. Значения целевой функции также могут быть
измерены при различных сочетаниях регулируемых переменных.
Примером такой ситуации может быть выбор оптимального сочета-
ния цены, ассортимента и количества выпускаемой продукции в ус-
ловиях неопределенности спроса с целью максимизации прибыли.
Другим примером может служить выбор
оптимального распределе-
ния нагрузки между электростанциями различных типов (ТЭЦ,
ГРЭС, ГЭС) в энергосистеме с целью минимизации затрат на произ-
водство электроэнергии. Общей особенностью этих двух задач яв-
ляется то, что процесс производства продукции уже находится в ра-
бочей области и проблема состоит в непрерывном улучшении неко-
торого основного синтетического показателя.
Оба процесса допус-
кают небольшие вариации входных переменных без ущерба для ка-
чества выпускаемой продукции. В практике поиска максимума (ми-
нимума) функций многих переменных широкое распространение
получил
градиентный метод. Суть его состоит в следующем. Как
известно, вектор
12
grad ( ) , , , ,
m
f
ff
f
xx x
⎛⎞
∂∂ ∂
=
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
x …
называемый градиентом, указывает направление наискорейшего
возрастания функции
f(x). Определим значение градиента в точке
х
(0)
и найдем точку х
1
согласно выражению
x
(1)
= x
(0)
+ γ
1
grad f(x)
(0)
.
При подходящем выборе коэффициента γ
1
f(x
(1)
)> f(x
(0)
).
Дальнейшее движение по градиенту в направлении скорейшего
возрастания функции
f(x) осуществляется аналогично. Текущий шаг
имеет вид
x
(n)
= x
(n–1)
+ γ
n
grad f(x)
(n–1)
.
Теоретически в точке максимума
grad
f(x) = 0,
и движение автоматически прекращается. Выбор величины γ
n
на ша-
ге – непростая задача. Если выбрать γ=const, то шаг оказывается
пропорциональным величине градиента. Это обеспечивает быстрый
подъем на крутых «склонах» функции и медленный в окрестности
максимума. Оставляя в стороне различные тонкости применения
градиентного метода [6], сосредоточим внимание на одной единст-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
