Составители:
Рубрика:
121
Рассмотрим уравнение линейной множественной регрессии
0
1
=
=α + α
∑
m
ii
i
yx.
Число коэффициентов здесь равно
m+1. Начиная с m=2, спра-
ведливо строгое неравенство
m+1<2
m
.
Таким образом, при
m>2 для уменьшения числа экспериментов
можно использовать дробные реплики ортогонального плана. Рас-
смотрим особенности построения дробных реплик на примере по-
луреплики плана 2
3
. При m=3 число коэффициентов в уравнении
линейной регрессии равно 4, а число наблюдений в полном фактор-
ном эксперименте равно 8. Следовательно, можно ограничиться по-
лурепликой 2
3–1
, сохраняющей ортогональность плана. План 2
2
об-
ладает всеми необходимыми свойствами, причем последний стол-
бец полного плана, соответствующий произведению
х
1
х
2
, в полуре-
плике будет соответствовать переменной
х
3
= х
1
х
2
.
Это соотношение называется генерирующим соотношением по-
луреплики 2
3–1
. Другим таким соотношением будет равенство
х
3
= –х
1
х
2
,
генерирующее еще одну полуреплику 2
3–1
. Генерирующее соотно-
шение достраивает двухмерный план без взаимодействия до дроб-
ной реплики трехмерного плана. Нетрудно видеть, что подобные
реплики для эксперимента 2
m
есть факторные эксперименты типа
2
m–1
(полуреплика), 2
m–2
(четвертьреплики) и т. д. со своими генери-
рующими соотношениями. Поэтому число параметров
m-мерной
модели, которые могут быть определены в дробных факторных экс-
периментах, не может быть больше 2
m–1
в полуреплике, 2
m–2
в чет-
вертьреплике и т. д. Так, при
m=5 полуреплика позволяет опреде-
лить главные эффекты и парные взаимодействия, при
m=7 – главные
эффекты, парные и тройные взаимодействия, а для определения
главных эффектов и парных взаимодействий достаточно четверть-
реплики.
В заключение приведем без доказательства одно важное свойст-
во ортогональных планов. План, соответствующий линейной функ-
ции регрессии, назовем линейным. Согласно теореме Бокса, линей-
ные ортогональные планы позволяют получить МНК-оценки пара-
122
метров с минимальной дисперсией. Такие планы называют также
линейными оптимальными планами.
8.3. Центральные композиционные планы
второго порядка
Нелинейная регрессионная модель, рассмотренная в предыду-
щем подразделе, является шагом вперед по сравнению с линейной
моделью, так как позволяет учитывать эффект взаимодействия
входных переменных. Кроме того, эта модель идеально соответст-
вует факторному эксперименту 2
m
и наиболее полно использует
преимущества ортогонального планирования. Тем не менее, она
представляется несколько искусственной, так как не позволяет
учесть нелинейные эффекты самих входных переменных, хотя бы в
виде их квадратов.
Полная нелинейная полиномиальная модель второго порядка в
нормированных переменных имеет вид
2
0
111
== ≤<≤
=
α+ α + α + α +ε
∑∑ ∑
mm
ii iii iji j
ii ijm
yxx xx
и содержит 2
m
+m неизвестных коэффициентов. Очевидно, для опре-
деления коэффициентов здесь уже недостаточно варьировать пере-
менные на двух уровнях. В то же время эксперимент 3
m
дает избы-
точное количество наблюдений и, что еще более важно, не является
ортогональным. Одним из возможных подходов является построе-
ние
центральных композиционных планов (ЦКП) второго порядка.
Ядром ЦКП является полный (или дробный) факторный экспери-
мент 2
m
, который достраивается до ЦКП следующим образом. Про-
водится эксперимент в центре полного факторного эксперимента, то
есть при
х
i
= 0, i = 1, 2, …, m. Кроме того, проводятся эксперименты
в «звездных» точках
x
i
= ±β
i,
x
i
x
j
= 0, i≠j
для всех i = 1, 2, …, m.
Таким образом, общее число наблюдений становится равным
n=2
m
+ 2m + 1.
Простые подсчеты показывают, что
2
m
+ 2m + 1 < 3
m
при всех m ≥ 2. В общем случае ЦКП не является ортогональным.
Но изменением звездного плеча β
и преобразованием уравнения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
