Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

117
Кроме того, с ростом числа факторов растет число взаимодейст-
вий, равное числу сочетаний
l
n
C , где l – число взаимодействующих
факторов. Количество взаимодействий для первых четырех значе-
ний
n приведено в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Число
факторов
Главные
эффекты
Парные
Тройные Четверные Пятерные N
2
3
4
5
2
3
4
5
1
3
6
10
–
1
4
10
–
–
1
5
–
–
–
1
4
8
16
32
Если парные взаимодействия, как правило, поддаются разумно-
му толкованию, то взаимодействия более высоких порядков зачас-
тую трудно объяснить. Потому представляется целесообразным со-
кратить число опытов, пренебрегая при этом некоторыми взаимо-
действиями.
Рассмотри эксперимент 2
3
. Коэффициенты ортогональных кон-
трастов (опуская единицу) сведем в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Эффект Комбинация
уровней
А В АВ С АС ВС АВС
1 – – + – + + –
a + – – – – + +
b – + – – + – +
ab + + + – – – –
c – – + + – – +
ac + – – + + – –
bc – + – + – + –
abc + + + + + + +
Выберем полуреплику (4 наблюдения)
a, b, c, abc, выделенную в
таблице жирными линиями. Нетрудно видеть, что контрасты
2
А = a – b – c + abc;
2BC = a – b – c + acb
одинаковы. Следовательно, мы не можем различить эффект А и
взаимодействие
ВС. Аналогично, невозможно различить В и АС, С и
АВ. Таким образом, если не провести дополнительных исследований
118
в отношении значимости парных взаимодействий, невозможно оп-
ределенно утверждать, какие именно эффекты, главные или парные
взаимодействия влияют на выходную переменную.
Приведенный пример наглядно демонстрирует трудности, кото-
рые сопровождают попытки воспользоваться дробными репликами.
Тем не менее, этот прием может оказаться эффективным при боль-
ших значениях
n. Так, начиная с n=5, полуреплика позволяет выде-
лить главные эффекты и парные взаимодействия. Взаимодействия
более высоких порядков обычно относят к ошибкам. При
n=7 полу-
реплика позволяет разграничить главные эффекты, парные и трой-
ные взаимодействия. Для выделения главных эффектов и парных
взаимодействий достаточно чертвертьреплики. В следующем под-
разделе мы вернемся к дробным репликам и обсудим регулярные
способы их построения.
8.2. Регрессионный анализ и
ортогональное планирование экспериментов
В предыдущем подразделе мы обсудили возможность сокраще-
ния числа наблюдений при использовании факторных эксперимен-
тов типа 2
n
и дробных реплик. Этот подход может быть с успехом
использован в регрессионном анализе, в том числе нелинейном.
Рассмотрим уравнения регрессии вида
0
11
=≤<≤
=
α+ α + α +ε
∑∑
m
ii iji j
iijm
yXXX,
учитывающие влияние отдельных факторов и их взаимодействий.
Число параметров здесь равно 2
m
и, следовательно, минимально
возможное число экспериментов без параллельных наблюдений
равно
2
m
. Для получения такого количества наблюдений достаточно
варьировать каждую переменную на двух уровнях
X
i min
и X
i max
. Аб-
солютные значения уровней выбирают, исходя из экономического
смысла переменных и цели исследования. Иногда это малые вариа-
ции вокруг некоторых «номинальных» значений, в других случаях –
это границы диапазонов возможных значений переменных. Если
абсолютные уровни заданы, для дальнейшего удобно ввести норми-
рованные значения входных переменных. Введем нормированные
переменные
x
i
, i=1, 2, …, m следующим образом:

Страницы