Составители:
Рубрика:
115
уровнях каждый. Факторы могут быть как количественными, так и
качественными. Вне зависимости от их типа значения каждого фак-
тора принимают равными 0 или 1, причем в случае количественных
уровней единица присваивается верхнему уровню, ноль – нижнему.
Модель в этом случае имеет вид
x
ij
=
x
+A
i
+B
j
+AB
ij
+ε
ij
, i=1, 2; j=1, 2,
где A
i
, B
j
– эффекты факторов; AB
ij
– эффект их сочетания.
В литературе для обозначения откликов значений выходной пе-
ременной на различных уровнях принята мнемоническая схема, со-
гласно которой варианты испытаний и отклики обозначаются ма-
лыми буквами
a, b в степени 0 или 1 в соответствии с уровнем. Та-
ким образом, ПФЭ 2
2
имеет следующие варианты испытаний:
а
0
b
0
= (1); а
1
b
0
= а;
а
0
b
1
= b; а
1
b
1
= аb.
Напомним, что (1),
а, b, аb обозначают не только варианты, но и
отклики, то есть соответствующее значение выходной переменной.
Обозначения удобны тем, что позволяют наглядно вводить новые
факторы. Для введения фактора
С достаточно приписать справа
предыдущие варианты, умноженные на
С: (1), а, b, аb, с, ас, bc, аbс
и т. д.
Найдем средние эффекты факторов и их взаимодействия. Для
вычисления эффектов факторов из верхних откликов вычтем ниж-
ние и усредним их:
[]
1
((1))( )
2
=−+−
Aa abb;
[]
1
((1))( )
2
=−+−
B
baba.
Для вычисления эффекта взаимодействия найдем полуразность
эффектов фактора
А на двух уровнях фактора В
[]
1
()((1))
2
=−−−AB ab b a .
Если эти эффекты различны, то взаимодействие существует.
Преобразуем полученные средние
2(1)=− + − +Aabab;
2(1)=− − + +
B
abab;
2(1)=−−+
A
Babab.
116
Обратим внимание на то, что эффект взаимодействия можно по-
лучить, перемножив соответствующие коэффициенты в двух глав-
ных эффектах.
Запишем коэффициенты эффектов в виде векторов
А (–1, +1, –1, +1);
В (–1, –1, +1, +1);
АВ (+1, –1, –1, +1).
Нетрудно видеть, что эти векторы ортогональны, а, следова-
тельно, 2
А, 2В, 2АВ являются контрастами. Определим, как и выше,
суммы квадратов контрастов
2
(2 )
;
4
A
A
Q =
2
(2 )
;
4
B
B
Q =
2
(2 )
4
=
AB
AB
Q
.
Число степеней свободы каждой суммы квадратов равно 1. По-
скольку параллельных наблюдений нет, взаимодействие невозмож-
но отделить от ошибки, так что
Q
0
= Q
AB
и фактические значения
F-критерия равны
0
=
A
A
Q
F
Q
,
0
=
B
B
Q
F
Q
.
Значимость влияния факторов определяется стандартным спосо-
бом. Полученные результаты легко обобщаются на случай ПФЭ 2
n
.
Для определения контрастов по откликам нужно брать отклики со
знаком плюс, если фактор на верхнем уровне, и со знаком минус –
если он на нижнем уровне. Контрасты для взаимодействий опреде-
ляются перемножением соответствующих коэффициентов.
В общем случае основные соотношения при
k наблюдениях в
ячейке имеют вид
КОНТРАСТ
=k2
n–1
(эффект);
2
КОНТРАСТА
(контраст)
2
n
Q
k
= .
Число степеней свободы контрастов равно единице. Число сте-
пеней свободы остаточной суммы квадратов равно 2
n
(k–1).
Уменьшение числа уровней факторов существенно сокращает коли-
чество необходимых наблюдений. При грамотном выборе уровней мож-
но получить достаточно надежный результат, тем более, что речь идет
об установлении самого факта влияния. Тем не менее, и такой экспери-
мент в практических условиях может оказаться невозможным.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
