Эконометрика. Краткий курс. Скляров Ю.С. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

119
0
−
=
Δ
ii
i
i
X
X
x
X
,
где
min max
0
2
+
=
ii
i
XX
X
,
max min
2
−
Δ=
ii
i
XX
X
, i=1, 2, …, m.
Нетрудно видеть, что нормированные переменные принимают
значения ±1, причем для каждой переменной
x
i
значение +1 соответ-
ствует
X
i max
, значение –1 соответствует X
i min
. Сохраняя обозначения
коэффициентов, получим в результате уравнение регрессии в виде
0
11
=≤<≤
=
α+ α + α +ε
∑∑
m
ii iji j
iijm
yxxx.
Для определения коэффициентов проведем факторный экспери-
мент 2
m
, который строится по правилам, изложенным в п. 8.1.3.
Рассмотрим структуру матрицы значений входных переменных
Х.
Для
m=2
x
0
x
1
x
2
x
1
x
2
(2)
1111
1111
.
111 1
1111
−−
⎛⎞
⎜⎟
+−−
⎜⎟
=
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
X
Для
m=3
x
0
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
2
x
3
x
1
x
3
x
1
x
2
x
3
+1 –1 –1 –1 +1 +1 +1 –1
+1 +1 –1 –1 –1 +1 +1 +1
+1 –1 +1 –1 –1 –1 –1 +1
+1 +1 +1 –1 +1 –1 –1 –1
+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1
+1 +1 –1 +1 –1 –1 –1 –1
+1 –1 +1 +1 –1 +1 +1 –1
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Анализируя структуру матриц Х
(2)
, Х
(3)
, можно сделать следую-
щие выводы, справедливые для любого
m.
1. Первый столбец матрицы Х состоит из единиц.
X
(3)
=
120
2. Во втором столбце значения –1 и +1 чередуются, в третьем
столбце чередуются пары (–1, –1) и (+1, +1), в четвертом столбце –
четверки (–1, –1, –1, –1) и (+1, +1, +1, +1), и вообще, в столбце с но-
мером
i чередуются 2
i–1
значений х
i
= –1 и 2
i–1
значений x
i
= +1.
3. Элементы столбцов, соответствующих произведениям вход-
ных переменных, получаются перемножением элементов столбцов с
номерами, соответствующими индексам перемножаемых перемен-
ных.
Эти простые правила позволяют легко сформировать матрицу Х
при любом
m. Но, пожалуй, главным структурным свойством мат-
рицы является ортогональность ее столбцов. Этот факт проверяется
непосредственно и может быть доказан в общем виде.
Пусть х
(i)
– вектор-столбец матрицы Х с номером i, i=1, 2, …, m.
Тогда
‹х
(i)
, х
(j)
› = 0, i≠j и
‹х
(i)
, х
(i)
› = m.
Планы, обладающие таким свойством, называются ортогональ-
ными
. Для ортогональных планов
X
t
X = mE,
где Е – единичная матрица порядка m. Поэтому вектор оценок па-
раметров уравнения регрессии
a=
1
m
X
t
y.
Оценки а не коррелированы, так как
K
a
=s
2
(X
t
X)
–1
=
2
s
m
E.
Дисперсии оценок коэффициентов одинаковы и равны
2
σ
m
, а
оценки дисперсий одинаковы и равны
2
s
m
. Оценка дисперсии s
2
мо-
жет быть получена только при наличии параллельных наблюдений.
Ортогональные планы получили широкое распространение ввиду их
простоты, наглядности и минимального объема вычислений. По-
следнее особенно важно в оптимизационных задачах эволюционно-
го планирования в режиме реального времени. Мы обсудим эти во-
просы несколько позже, а сейчас рассмотрим один важный, частный
случай.

Страницы