Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
Четвертое допущение – оптимальность по Парето; не может быть
решением такой набор платежей, помимо которого существует другой на-
бор, более выгодный хотя бы для одного игрока.
При выполнении этих условий, единственным решением является
пара платежей (Х
1
, Х
2
), которые максимизируют произведение превыше-
ний этих платежей над платежами при угрозе (Y
1
, Y
2
)
(
)
(
)
12
1122
,
max
XX
XYXY
−⋅−
2. СУЩЕСТВЕННЫЕ И НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ
Супераддитивность характеристической функции свидетельствует о
том, что объединение игроков в коалиции (а образовавшихся коалиций – в
еще большие коалиции) является целесообразным с точки зрения увеличе-
ния выигрыша. Одной из форм супераддитивности характеристической
функции (наиболее слабой ее формой) является ее аддитивность, при кото-
рой неравенство (1) обращается в равенство
V(A ∪ B) = V(A) + V(B) при всех А, В ⊂ N, A∩B = ∅/
Аддитивность характеристической функции отражает незаинтересо-
ванность игроков в образовании каких-либо коалиций.
Теорема 1. Для того, чтобы характеристическая функция была адди-
тивной, необходимо и достаточно выполнение равенства
()()(2)
iN
ViVN
∈
=
∑
Доказательство. Необходимость очевидна, она вытекает из адди-
тивности характеристической функции.
Достаточность. Возьмем произвольные непересекающиеся коалиции
S и L и напишем систему неравенств, вытекающих из супераддитивности
характеристической функции V:
V(S) + V(L) ≤ V(S∪L),
()(),
()(),
iS
iL
∈
∈
≤
≤
∑
∑
()
(
)
(
)
\
()\,
iNSL
ViVNSL
∈∪
≤∪
∑
V(S∪L) + V(N\(S∪L)) ≤ V(N),
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Четвертое допущение – оптимальность по Парето; не может быть
         решением такой набор платежей, помимо которого существует другой на-
         бор, более выгодный хотя бы для одного игрока.
               При выполнении этих условий, единственным решением является
         пара платежей (Х1, Х2), которые максимизируют произведение превыше-
         ний этих платежей над платежами при угрозе (Y1, Y2)
                                     max ( X 1 − Y1 ) ⋅ ( X 2 − Y2 )
                                      X1 , X 2


          2. СУЩЕСТВЕННЫЕ И НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ

               Супераддитивность характеристической функции свидетельствует о
         том, что объединение игроков в коалиции (а образовавшихся коалиций – в
         еще большие коалиции) является целесообразным с точки зрения увеличе-
         ния выигрыша. Одной из форм супераддитивности характеристической
         функции (наиболее слабой ее формой) является ее аддитивность, при кото-
         рой неравенство (1) обращается в равенство
                    V(A ∪ B) = V(A) + V(B) при всех А, В ⊂ N, A∩B = ∅/
               Аддитивность характеристической функции отражает незаинтересо-
         ванность игроков в образовании каких-либо коалиций.
               Теорема 1. Для того, чтобы характеристическая функция была адди-
         тивной, необходимо и достаточно выполнение равенства
                                    ∑ V (i ) = V ( N )
                                     i∈N
                                                                         (2)

               Доказательство. Необходимость очевидна, она вытекает из адди-
         тивности характеристической функции.
               Достаточность. Возьмем произвольные непересекающиеся коалиции
         S и L и напишем систему неравенств, вытекающих из супераддитивности
         характеристической функции V:
                                  V(S) + V(L) ≤ V(S∪L),
                                                   ∑V (i ) ≤ V ( S ),
                                                   i∈S

                                                   ∑V (i ) ≤ V ( L),
                                                   i∈L


                                    ∑             V (i ) ≤ V ( N \ ( S ∪ L ) ) ,
                                i∈N \ ( S ∪ L )

                                    V(S∪L) + V(N\(S∪L)) ≤ V(N),


                                                                                   5


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы