Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
Условие (5) называется условием коллективной рациональности.
Оно означает, что игроки должны делить между собой реально возможный
выигрыш.
Таким образом, вектор X = (x
1
, x
2
, …, x
n
), удовлетворяющий услови-
ям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележом
в условиях характеристической функции V.
Система (N, V), состоящая из множества игроков, характеристиче-
ской функцией над этим множеством и множеством дележей, удовлетво-
ряющих соотношениям (4) и (5) называется классической кооперативной
игрой.
Классические кооперативные игры нередко называют играми в фор-
ме характеристической функции.
Теорема 2. Для того, чтобы вектор X = (x
1
, x
2
, …, x
n
) был дележом в
классической кооперативной игре (N,V) необходимо и достаточно выпол-
нение условия:
x
i
= V(i) + a
i
, где i ∈ N,
при этом
0,()()(6)
ii
iNiN
aaVNVi
∈∈
≥=−
∑∑
Доказательство. Достаточность устанавливается проверкой условий
индивидуальной и коллективной рациональности вектора X.
Необходимость. Положим
x
i
– V(i) = a
i
(i ∈ N) (7)
Из условия индивидуальной рациональности (4) следует, что a
i
≥ 0.
Суммируя последовательно все равенства (7) и учитывая условия коллек-
тивной рациональности (5) получим (6).
Теорема 3. В несущественной игре имеется только один дележ:
[V(1), V(2), …, V(n)] (8)
Во всякой существенной игре с более чем одним игроком множество де-
лежей бесконечно.
Доказательство. В соответствии с теоремой (2) представим дележ X
в виде:
X = [V(1) + a
1
, V(2) + a
2
, …, V(n) + a
n
], a
i
≥ 0 (i ∈ N) (9)
В случае несущественной игры выполняется равенство (2), так что
для дележа X остается единственная возможность: a
i
= 0 (i ∈ N), и мы по-
лучаем дележ (8).
Если же игра существенна, то
()()0,
iN
VNVi
∈
−>
∑
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Условие (5) называется условием коллективной рациональности.
         Оно означает, что игроки должны делить между собой реально возможный
         выигрыш.
               Таким образом, вектор X = (x1, x2, …, xn), удовлетворяющий услови-
         ям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележом
         в условиях характеристической функции V.
               Система (N, V), состоящая из множества игроков, характеристиче-
         ской функцией над этим множеством и множеством дележей, удовлетво-
         ряющих соотношениям (4) и (5) называется классической кооперативной
         игрой.
               Классические кооперативные игры нередко называют играми в фор-
         ме характеристической функции.
               Теорема 2. Для того, чтобы вектор X = (x1, x2, …, xn) был дележом в
         классической кооперативной игре (N,V) необходимо и достаточно выпол-
         нение условия:
                                  xi = V(i) + ai, где i ∈ N,
                        при этом ai ≥ 0,   ∑a
                                           i∈N
                                                 i   = V ( N ) − ∑V (i )
                                                                i∈N
                                                                           (6)

               Доказательство. Достаточность устанавливается проверкой условий
         индивидуальной и коллективной рациональности вектора X.
               Необходимость. Положим
                               xi – V(i) = ai    (i ∈ N)         (7)
               Из условия индивидуальной рациональности (4) следует, что ai ≥ 0.
         Суммируя последовательно все равенства (7) и учитывая условия коллек-
         тивной рациональности (5) получим (6).
               Теорема 3. В несущественной игре имеется только один дележ:
                                 [V(1), V(2), …, V(n)]          (8)
         Во всякой существенной игре с более чем одним игроком множество де-
         лежей бесконечно.
               Доказательство. В соответствии с теоремой (2) представим дележ X
         в виде:
                 X = [V(1) + a1, V(2) + a2, …, V(n) + an], ai ≥ 0 (i ∈ N) (9)
               В случае несущественной игры выполняется равенство (2), так что
         для дележа X остается единственная возможность: ai = 0 (i ∈ N), и мы по-
         лучаем дележ (8).
               Если же игра существенна, то
                                        V ( N ) − ∑V (i ) > 0,
                                                     i∈N



                                                                                 7


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы