Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 8 стр.

         и эта положительная разность может быть представлена бесконечным мно-
         жеством способов.
               Понятие дележа является одним из центральных в теории коопера-
         тивных игр, т.к. именно дележ, возникающий как результат соглашения
         игроков, является решением игры.
               Чтобы выявить какие из множества дележей могут стать решениями
         игры, вводится понятие доминирования, позволяющее сравнивать дележи
         по предпочтительности.
                                                                          (
                Дележ Х доминирует дележ Y по коалиции S X f Y , если выполня-
                                                           S
                                                                              )
         ются следующие соотношения:
                                  1) xi > yi для всех i ∈ S
                                            2) ∑ xi ≤ V ( S )
                                                 i∈S
               Условие 1) означает, что дележ Х лучше дележа Y для всех членов
         коалиции S, т.е. отражает необходимость «единогласия» в предпочтении
         со стороны коалиции, а условие 2) означает реальную возможность коали-
         ции S предложить каждому игроку, вошедшему в ее состав, величину вы-
         игрыша xi.
               Доминирование возможно не по всякой коалиции. В частности до-
         минирование невозможно по коалиции, состоящей из одного игрока, а
         также по множеству всех игроков N. Действительно, из X fi Y следовало
         бы yi yi для всех i ∈ N. Поэтому

                                      ∑x > ∑y
                                      i∈N
                                             i
                                                   i∈N
                                                         i   = V ( N ),

         что противоречит условию коллективной рациональности дележа Х.
               Кооперативная игра (N, V) называется эквивалентной игре (N, V')
         {(N,V) ∼ (N, V') или V ∼ V}, если существует положительное число k и ве-
         щественные числа ci (i = 1,2, …,n), такие, что для любой коалиции S ⊂ N
         выполняется равенство:
                                     V ′( S ) = k ⋅V ( S ) + ∑ ci
                                                                 i∈S
                Для эквивалентных игр выполняются следующие свойства:
                а) рефлексивности: V ∼ V;
                b) симметрии отношений: если V ∼ V', то V' ∼ V;


         8


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com