Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

9
с) транзитивности: если V ∼ V' и V' ∼ V'', то V ∼ V''.
Теорема 4. Если V ∼ V', то отображение Х → Х', где x
i
' = kx
i
+ c
i
, i ∈
N, устанавливает такое взаимно однозначное отображение множества всех
дележей игры V на множество дележей игры V', что из
S
f
XY
следует, что
S
′′
f
XY
.
Доказательство. Положим
()()(0,).
i
iS
VSkVSckSN
∈
′
=+>⊂
Доминирование
(
)
S
f
XY
означает, что
().
iii
iN
xVSиyxпри iN
∈
≤<∈
∑
В таком случае
()
()()
iiiiii
iSiSiSiSiS
xkxckxckVScVS
∈∈∈∈∈
′
′
=+=+≤+=
∑∑∑∑∑
и y
i
' = ky
i
+ c
i
< kx
i
+ c
i
= x
i
', т.е.
S
′′
f
XY
.
4. 0 – 1 РЕДУЦИРОВАННАЯ ФОРМА
КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ
Игра (N, V) называется игрой в 0 – 1 редуцированной форме, если
V(i) = 0 для всех i ∈ N, V(N) = 1.
Теорема 5. Каждая существенная кооперативная игра эквивалентна
одной и только одной игре в 0 – 1 редуцированной форме.
Доказательство. Пусть V – характеристическая функция произволь-
ной существенной игры. Эквивалентной ей будет характеристическая
функция V'. Составим систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными c
1
, c
2
,…,
c
n
и k:
()()0,1,2,...,
(10)
()()1
i
i
iN
VikVicin
VNkVNc
∈
′
=+==
′
=+=
∑
Складывая почленно первые n уравнений, получим:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               с) транзитивности: если V ∼ V' и V' ∼ V'', то V ∼ V''.
               Теорема 4. Если V ∼ V', то отображение Х → Х', где xi' = kxi + ci, i ∈
         N, устанавливает такое взаимно однозначное отображение множества всех
         дележей игры V на множество дележей игры V', что из X f Y следует, что
                                                                                                      S

          X ′fY ′ .
             S

                  Доказательство. Положим
                               V ′( S ) = kV ( S ) + ∑ ci                      (k > 0, S ⊂ N ).
                                                                   i∈S

                                             (
                  Доминирование X f Y означает, что
                                                     S
                                                         )
                                   ∑x
                                   i∈N
                                             i   ≤ V ( S ) и yi < xi при i ∈ N .
                  В таком случае

                 ∑ x ′ = ∑ ( kx + c ) = k ∑ x + ∑ c
                 i∈S
                       i
                             i∈S
                                         i       i
                                                             i∈S
                                                                   i
                                                                         i∈S
                                                                               i   ≤ kV ( S ) + ∑ ci = V ′( S )
                                                                                                i∈S
         и yi' = kyi + ci < kxi + ci = xi', т.е. X ′ fS Y ′ .



                           4. 0 – 1 РЕДУЦИРОВАННАЯ ФОРМА
                                 КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ

                Игра (N, V) называется игрой в 0 – 1 редуцированной форме, если
                                  V(i) = 0 для всех i ∈ N, V(N) = 1.
                Теорема 5. Каждая существенная кооперативная игра эквивалентна
         одной и только одной игре в 0 – 1 редуцированной форме.
                Доказательство. Пусть V – характеристическая функция произволь-
         ной существенной игры. Эквивалентной ей будет характеристическая
         функция V'. Составим систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными c1, c2,…,
         cn и k:
                           V ′(i ) = kV (i ) + ci = 0, i = 1, 2,..., n
                            V ′( N ) = kV ( N ) + c = 1
                                                  ∑
                                                    i∈N
                                                        i
                                                                                                      (10)

                  Складывая почленно первые n уравнений, получим:




                                                                                                                  9


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы