Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
()0.
i
iNiN
kVic
∈∈
+=
∑∑
Вычитая теперь полученное уравнение из последнего уравнения сис-
темы (10), будем иметь:
()()1.
iN
kVNVi
∈

−=


∑
Ввиду существенности игры коэффициент при k положителен. Сле-
довательно
1
0(11)
()()
iN
k
VNVi
∈
=>
−
∑
Определим теперь неизвестные с
i
:
()
(12)
()()
i
iN
Vi
c
VNVi
∈
=
−
∑
Равенства (11) и (12) являются необходимыми следствиями системы
уравнений (10). Поэтому характеристическая функция 0 – 1 редуцирован-
ной формы существенной игры определяется однозначно.
Из теоремы 4 следует, что существенные игры достаточно изучать
по их 0 – 1 редуцированным формам.
Если V – характеристическая функция произвольной существенной
игры (N, V), то
()()
()(13)
()()
iS
iN
VSVi
VS
VNVi
∈
∈
−
′
=
−
∑
∑
является 0 – 1 нормализацией, соответствующей функции V. Действитель-
но, используя формулы (11) и (12), полученные в результате доказательст-
ва теоремы 5, получим:
()()()
()
()()()
()()()()()()
iNiS
iS
iNiNiN
ViVSVi
VS
VSkVSVi
VNViVNViVNVi
∈∈
∈
∈∈∈
−−
′
=+=+=
−−−
∑∑
∑
∑∑∑
Используя данное выражение, убеждаемся, что
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                       k ∑V (i ) + ∑ ci = 0.
                                            i∈N                i∈N
              Вычитая теперь полученное уравнение из последнего уравнения сис-
         темы (10), будем иметь:
                                                           
                                       k V ( N ) − ∑V (i )  = 1.
                                                   i∈N     
              Ввиду существенности игры коэффициент при k положителен. Сле-
         довательно
                                             1
                               k=                      >0                  (11)
                                    V ( N ) − ∑ V (i )
                                                  i∈N
                Определим теперь неизвестные сi:
                                             −V (i )
                                ci =                                 (12)
                                       V ( N ) − ∑V ( i )
                                                    i∈N
               Равенства (11) и (12) являются необходимыми следствиями системы
         уравнений (10). Поэтому характеристическая функция 0 – 1 редуцирован-
         ной формы существенной игры определяется однозначно.
                Из теоремы 4 следует, что существенные игры достаточно изучать
         по их 0 – 1 редуцированным формам.
                Если V – характеристическая функция произвольной существенной
         игры (N, V), то
                                            V ( S ) − ∑V (i )
                               V ′( S ) =                i∈S
                                                                       (13)
                                            V ( N ) − ∑V (i )
                                                         i∈N
         является 0 – 1 нормализацией, соответствующей функции V. Действитель-
         но, используя формулы (11) и (12), полученные в результате доказательст-
         ва теоремы 5, получим:
                                                                − ∑ V (i )       V ( S ) − ∑V ( i )
                                               V (S )
         V ′( S ) = kV ( S ) + ∑V (i ) =                   +      i∈N
                                                                               =           i∈S

                               i∈S       V ( N ) − ∑ V (i ) V ( N ) − ∑ V ( i ) V ( N ) − ∑ V ( i )
                                                   i∈N               i∈N                 i∈N

                Используя данное выражение, убеждаемся, что




         10


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы