Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 12 стр.

                                          5. С – ЯДРО

               Рассмотрим некоторые аспекты, позволяющие понять отличие деле-
         жа от недоминируемого дележа, а также какие требования кроме индиви-
         дуальной и групповой рациональности, могут предъявлять игроки к деле-
         жу Х. Некоторая коалиция S может возражать против этого дележа, так как
         считает, что ее интересы недостаточно полно учтены при распределении
         общего выигрыша, полученного от объединения всех участников игры. В
         том случае, если ее требование не будет учтено, коалиция S угрожает не
         входить в кооперацию со всеми остальными N\S игроками. На угрозу коа-
         лиции S остальные игроки, не вошедшие в нее, также отвечают угрозой,
         называемой стабилизационной, которая состоит в том, что все остальные
         N\S игроков объединяются в одну коалицию, ступающую против коалиции
         S. В этом случае максимально гарантированный выигрыш коалиции S бу-
         дет V(S).
               Таким образом, для предотвращения возможности реализации угроз
         необходимо учитывать интересы и возможности каждой из коалиций. Сле-
         довательно, дележ Х*, учитывающий возможности каждой из коалиций,
         которую могли бы организовать участники игры, будет доминировать де-
         леж Х, который эти угрозы игнорирует. Тем самым дележ Х* отличается
         от недоминируемого дележа Х тем, что помимо удовлетворения требова-
         ниям индивидуальной и групповой рациональности, он удовлетворяет
         также и требованиям коалиционной рациональности.
               Формально требования коалиционной рациональности выражаются в
         системе дополнительных ограничений, которым должны удовлетворять
         недоминируемые дележи.
               Множество недоминируемых дележей кооперативной игры называ-
         ется С – ядром.
               Теорема 6. Для того чтобы дележ Х принадлежал С – ядру коопера-
         тивной игры с характеристической функцией V, необходимо и достаточно
         выполнение системы неравенств:
                    V ( S ) ≤ X ( S ) = ∑ xi     для всех S ⊂ N .            (14)
                                        i∈S
               Доказательство. Необходимость. Х принадлежит С – ядру. Доказа-
         тельство необходимости проведем от противного. Пусть для некоторой
         коалиции S дележ Х удовлетворяет условию:
                                          V ( S ) > ∑ xi
                                                     i∈S


         12


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com