Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 13 стр.

               Заметим, что коалиция S должна состоять более, чем из одного игро-
         ка и быть отличной от N.

                         ∑x
                          i∉S
                                i   = V ( N ) − ∑ xi ≥ V ( S ) − ∑ xi > 0.
                                                 i∈S                    i∈S
                Возьмем теперь положительное число ε, удовлетворяющее условию:
                                                 1                    
                                    0<ε <
                                                 S   
                                                     
                                                      V ( S ) − ∑
                                                                i∈S
                                                                    xi ,
                                                                       
         и образуем вектор Y = (y1, y2, … yn) с координатами
                                xi + ε , если i ∈ S ,
                               
                          yi =  1                        
                                N \ S ∑ i     x − S  ⋅ ε  , если i ∉ S .
                                          i∈S            
               Непосредственная проверка показывает, что вектор Y = (y1, y2, … yn)
         является дележом, причем Y fS X . Поэтому Х не принадлежит С – ядру.
         Полученное противоречие и доказывает необходимость.
               Достаточность. Выполнено условие (14). Требуется доказать, что де-
         леж Х принадлежит С – ядру. Предположим противное: дележ Х домини-
         руется дележом Y, т.е. для некоторой коалиции S

                                       ∑x < ∑y
                                       i∈S
                                             i
                                                     i∈S
                                                           i   ≤ V ( S ),
         что противоречит (14).Полученное противоречие и доказывает достаточ-
         ность. Таким образом, теорема доказана полностью.
               С – ядро является замкнутым, выпуклым подмножеством множества
         дележей.
               Проиллюстрируем систему неравенств, которой должны удовлетво-
         рять дележи, принадлежащие С – ядру, на примере рассмотренной выше
         кооперативной игры трех лиц, представленной в 0 – 1 редуцированной
         форме. В этой игре:
                                           V'(∅) =0;
                                   V'(1) = V'(2) = V'(3) = 0;
                          V'(1,2) = 0,5; V'(1,3) = 0,5; V'(2,3) = 0,7;
                                         V'(1,2,3) = 1.
               Следовательно, для того, чтобы дележ Х принадлежал С – ядру, не-
         обходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:
                                    V'(1,2) = 0,5 ≤ х'1 + х'2,

                                                                                13


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com