Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 15 стр.

               Доказательство. Предположим противное: характеристическая
         функция V существенная. Тогда она имеет 0 – 1 редуцированную форму.
         Пусть xi некоторая положительная компонента дележа Х. Для существен-
         ной характеристической функции |N| = n > 1, и можно построить дележ
                                 Y = (y1, y2, …, yn), где
                                             x
                                        xk + i , при k ≠ i,
                                 yk =       n −1
                                      0, при k = i
               По определению доминирования дележ Х не может доминировать Y;
         следовательно. Y отличаясь от Х должен входить вместе с Х в любое Н –
         М решение игры.
               Следует отметить, что имеются кооперативные игры, которые не
         имеют Н – М решений. Кроме того, многие кооперативные игры имеют
         более одного решения, поэтому принцип оптимальности, приводящий к Н
         – М решению не в состоянии указать игрокам единственный вариант рас-
         пределения выигрыша. Особо отметим, что решения существенных коопе-
         ративных игр состоят более чем из одного дележа. Следовательно, выбор
         конкретного Н–М решения еще не определяет выигрыш каждого из игро-
         ков.
               Теорема.[8] Если для кооперативной игры (N, V), характеристиче-
         ская функция которой представлена в 0 – 1 редуцированной форме, вы-
         полняются неравенства
                                                 1
                                  V (S ) ≤            ,       (15)
                                             n − S +1
         где n – число членов в коалиции (N), |S| – число членов в коалиции S, то С
         – ядро такой игры не пусто и является Н – М решением.
               Н – М решение представляет собой множество таких дележей, кото-
         рые обладают:
               а) внешней устойчивостью, т.е. доминируют любые дележи, которые
         не принадлежат этому подмножеству;
               b) внутренней устойчивостью, т.е. дележи, принадлежащие этому
         подмножеству, не доминируют друг друга.
               Следует отметить, что если Н – М решение существует, а С – ядро не
         пусто, то Н – М решение содержит С – ядро.
               Используя данную теорему, определим, является ли С – ядро рас-
         сматриваемой игры не пустым множеством.


                                                                                 15


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com