Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

17
Проверим выполнение свойства супераддитивности для рассматри-
ваемого нами примера.
Пусть S = {1}, тогда Q = {2,3}; V(1) + V(2,3) < V(S ∪ Q) = V(N),
1200 + 3500 = 4700 < 6000.
Пусть S = {2}, тогда Q = {1,3}; V(2) + V(1,3) < V(S ∪ Q) = V(N),
1500 + 3300 = 4800 < 6000.
Пусть S = {3}, тогда Q = {1,2}; V(3) + V(1,2) < V(S ∪ Q) = V(N),
1800 + 2900 = 4700 < 6000.
Поскольку каждое из рассмотренных неравенств удовлетворяет ус-
ловию (1), можно сделать вывод, что характеристическая функция являет-
ся супераддитивной. Это свидетельствует о целесообразности объединения
игроков с точки зрения увеличения выигрыша.
Теперь проверим, является ли рассматриваемая игра существенной.
()1200150018004500()6000,
iN
ViVN
∈
=++=<=
∑
т.е. выполняется неравенство (2). Следовательно, рассматриваемая игра
является существенной и ее решение следует искать среди множества не-
доминируемых дележей.
Представим данную игру в 0 – 1 редуцированной форме. Так как
V'(i) = 0 для всех i ∈ N и V'(N) =1, то
V'(1) = V'(2) = V'(3) = 0; V'(1,2,3)=1.
Чтобы определить другие значения характеристической функции,
воспользуемся формулой (13).
()
()
2
1
(1,2)()
290012001500
2
(1,2);
()()600012001500180015
i
iN
VVi
V
VNVi
=
∈
−
−+
′
===
−−++
∑
∑
()
()
1;3
(1,3)()
330012001800
(1,3)0,2;
()()6000120015001800
i
iN
VVi
V
VNVi
=
∈
−
−+
′
===
−−++
∑
∑
()
()
3
2
(2,3)()
350015001800
2
(2,3);
i
iN
VVi
V
VNVi
=
∈
−
−+
′
===
−−++
∑
∑
V'(1,2,3) = 1.
Для того, чтобы убедиться в непустоте С – ядра, следует проверить
выполнение условий (15):
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Проверим выполнение свойства супераддитивности для рассматри-
         ваемого нами примера.
               Пусть S = {1}, тогда Q = {2,3}; V(1) + V(2,3) < V(S ∪ Q) = V(N),
                                  1200 + 3500 = 4700 < 6000.
               Пусть S = {2}, тогда Q = {1,3}; V(2) + V(1,3) < V(S ∪ Q) = V(N),
                                  1500 + 3300 = 4800 < 6000.
               Пусть S = {3}, тогда Q = {1,2}; V(3) + V(1,2) < V(S ∪ Q) = V(N),
                                  1800 + 2900 = 4700 < 6000.
               Поскольку каждое из рассмотренных неравенств удовлетворяет ус-
         ловию (1), можно сделать вывод, что характеристическая функция являет-
         ся супераддитивной. Это свидетельствует о целесообразности объединения
         игроков с точки зрения увеличения выигрыша.
               Теперь проверим, является ли рассматриваемая игра существенной.
                       ∑V (i) = 1200 + 1500 + 1800 = 4500 < V ( N ) = 6000,
                       i∈N

         т.е. выполняется неравенство (2). Следовательно, рассматриваемая игра
         является существенной и ее решение следует искать среди множества не-
         доминируемых дележей.
               Представим данную игру в 0 – 1 редуцированной форме. Так как
                           V'(i) = 0 для всех i ∈ N и V'(N) =1, то
                           V'(1) = V'(2) = V'(3) = 0; V'(1,2,3)=1.
               Чтобы определить другие значения характеристической функции,
         воспользуемся формулой (13).
                                          2
                              V (1, 2) − ∑V (i )
                                                          2900 − (1200 + 1500 )     2
                 V ′(1,2) =             i =1
                                                   =                              = ;
                              V ( N ) − ∑V (i )        6000 − (1200 + 1500 + 1800) 15
                                       i∈N

                              V (1,3) − ∑ V (i )
                                                          3300 − (1200 + 1800 )
                 V ′(1,3) =            i =1;3
                                                   =                                = 0,2;
                              V ( N ) − ∑V ( i )       6000 − (1200 + 1500 + 1800 )
                                       i∈N
                                          3
                              V (2,3) − ∑V (i )
                                                          3500 − (1500 + 1800)      2
                 V ′(2,3) =              i=2
                                                   =                              = ;
                               V ( N ) − ∑V (i )       6000 − (1200 + 1500 + 1800) 15
                                        i∈N

                                     V'(1,2,3) = 1.
              Для того, чтобы убедиться в непустоте С – ядра, следует проверить
         выполнение условий (15):


                                                                                             17


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы