Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

18
1) для одноэлементных коалиций
V'(i) = 0 ≤ 1(3 – 1 +1 ) = 1/3;
2) для двухэлементных коалиций
V'(1,2) = 2/15 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;
V'(1,3) = 0,2 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;
V'(2,3) = 2/15 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;
3) для трехэлементных коалиций
V'(1,2,3) = 1 = 1/(3 – 3 +1 ) = 1.
Поскольку характеристическая функция игры, представленная в 0
– 1 редуцированной форме, удовлетворяет системе ограничений (15), то С
– ядро такой системы не пусто и, следовательно, любой дележ, принадле-
жащий С – ядру, является решением игры.
В соответствии с теоремой о необходимых и достаточных условиях
принадлежности дележа С – ядру, имеем:
V'(1) = 0 ≤ х'
1
,
V'(2) = 0 ≤ х'
2
,
V'(3) = 0 ≤ х'
3
,
V'(1,2) = 2/15 ≤ х'
1
+ х'
2
,
V'(1,3) = 0,2 ≤ х'
1
+ х'
3
,
V'(2,3) = 2/15 ≤ х'
2
+ х'
3
,
V'(1,2,3) = 1 = х'
1
+ х'
2
+ х'
3
.
Следует различать кооперативные игры с побочными платежами, в
которых платежи являются переводимыми, и игры без побочных платежей,
в которых платежи непереводимы.
Рассмотренной системе ограничений будет удовлетворять вектор Х'
= (х'
1
= 0,3; х'
2
= 0,3; х'
3
= 0,4). Чтобы найти соответствующий ему вектор
Х, воспользуемся взаимно однозначным соответствием множества всех де-
лежей в эквивалентных играх, в соответствии с которым:
х'
i
= kx
i
+ c
i
и x
i
= k' х'
i
+ c'
I
(i ∈ N), где
()(),().
i
iN
kVNVicVi
∈
′′
=−=
∑
Тогда
х
1
= k' х'
1
+ c'
1
= [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,3 + 1200 = 1650,
x
2
= k' х'
2
+ c'
2
= [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,3 + 1500 = 1950,
x
3
= k' х'
3
+ c'
3
= [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,4 + 1800 = 2400,
Таким образом,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                1) для одноэлементных коалиций
                                    V'(i) = 0 ≤ 1(3 – 1 +1 ) = 1/3;
                2) для двухэлементных коалиций
                                 V'(1,2) = 2/15 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;
                                  V'(1,3) = 0,2 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;
                                 V'(2,3) = 2/15 ≤ 1/(3 – 2 +1 ) = 1/2;

                3) для трехэлементных коалиций
                                   V'(1,2,3) = 1 = 1/(3 – 3 +1 ) = 1.
                Поскольку характеристическая функция игры, представленная в        0
         – 1 редуцированной форме, удовлетворяет системе ограничений (15), то С
         – ядро такой системы не пусто и, следовательно, любой дележ, принадле-
         жащий С – ядру, является решением игры.
                В соответствии с теоремой о необходимых и достаточных условиях
         принадлежности дележа С – ядру, имеем:
                                            V'(1) = 0 ≤ х'1,
                                            V'(2) = 0 ≤ х'2,
                                            V'(3) = 0 ≤ х'3,
                                       V'(1,2) = 2/15 ≤ х'1 + х'2,
                                        V'(1,3) = 0,2 ≤ х'1 + х'3,
                                       V'(2,3) = 2/15 ≤ х'2 + х'3,
                                     V'(1,2,3) = 1 = х'1 + х'2 + х'3.
                Следует различать кооперативные игры с побочными платежами, в
         которых платежи являются переводимыми, и игры без побочных платежей,
         в которых платежи непереводимы.
                Рассмотренной системе ограничений будет удовлетворять вектор Х'
         = (х'1 = 0,3; х'2 = 0,3; х'3 = 0,4). Чтобы найти соответствующий ему вектор
         Х, воспользуемся взаимно однозначным соответствием множества всех де-
         лежей в эквивалентных играх, в соответствии с которым:
                            х'i = kxi + ci и xi = k' х'i + c'I (i ∈ N), где
                                  k ′ = V ( N ) − ∑V (i ), ci′ = V (i ).
                                                i∈N

                Тогда
                х1 = k' х'1 + c'1 = [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,3 + 1200 = 1650,
                x2 = k' х'2 + c'2 = [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,3 + 1500 = 1950,
                x3 = k' х'3 + c'3 = [6000 – (1200 + 1500 + 1800)]·0,4 + 1800 = 2400,
                Таким образом,



         18


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы