Кооперативные игры. Смагин Б.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

14
V'(1,3) = 0,5 ≤ х'
1
+ х'
3
,
V'(2,3) = 0,7 ≤ х'
2
+ х'
3
Множество дележей, принадлежащих С – ядру, должно удовлетво-
рять условиям индивидуальной, групповой и коалиционной рационально-
сти.
6. РЕШЕНИЕ ПО НЕЙМАНУ – МОРГЕНШТЕРНУ
Рассмотренное нами С – ядро включает в себя множество дележей,
каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами. Од-
нако идеальным было бы нахождение такого дележа, который не только не
доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам доминировал
бы любой другой дележ. К сожалению такого дележа найти не удается.
Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн предложили рассматривать та-
кие множества дележей, которые удовлетворяют следующим двум свойст-
вам: внутренней устойчивостью (дележи, входящие в решение нельзя про-
тивопоставлять друг другу) и внешней устойчивостью, состоящей в воз-
можности каждому отклонению от решения противопоставлять некоторый
дележ, принадлежащий решению. Формализация этих требований приво-
дит к следующему определению.
Подмножество дележей R кооперативной игры (N, V) называют ре-
шением по Нейману – Моргенштерну (или Н – М решением) если:
1) из того, что X
f
Y следует, что либо X ∉ R, либо Y ∉ R;
2) для любого X ∉ R существует такой Y ∈ R, что Y
f
Х.
Между С – ядром кооперативной игры и ее Н – М решением имеется
связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема 7. Если в кооперативной игре имеется С – ядро С и Н – М
решение R, то С ⊂ R.
Доказательство. Если дележ Х ∈ С, то он не может доминироваться
каким-либо другим дележом. Если же он не принадлежит решению, то он
должен доминироваться некоторым дележом из решения. Следовательно,
принадлежащий С – ядру дележ должен принадлежать и каждому Н – М
решению.
Следует отметить, что Н – М решение кооперативной игры не может
состоять только из одного дележа.
Теорема 8. Если некоторое Н – М решение кооперативной игры (N,
V) состоит из единственного дележа Х, то характеристическая функция V
является несущественной.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                 V'(1,3) = 0,5 ≤ х'1 + х'3,
                                 V'(2,3) = 0,7 ≤ х'2 + х'3
               Множество дележей, принадлежащих С – ядру, должно удовлетво-
         рять условиям индивидуальной, групповой и коалиционной рационально-
         сти.

              6. РЕШЕНИЕ ПО НЕЙМАНУ – МОРГЕНШТЕРНУ

               Рассмотренное нами С – ядро включает в себя множество дележей,
         каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами. Од-
         нако идеальным было бы нахождение такого дележа, который не только не
         доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам доминировал
         бы любой другой дележ. К сожалению такого дележа найти не удается.
               Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн предложили рассматривать та-
         кие множества дележей, которые удовлетворяют следующим двум свойст-
         вам: внутренней устойчивостью (дележи, входящие в решение нельзя про-
         тивопоставлять друг другу) и внешней устойчивостью, состоящей в воз-
         можности каждому отклонению от решения противопоставлять некоторый
         дележ, принадлежащий решению. Формализация этих требований приво-
         дит к следующему определению.
               Подмножество дележей R кооперативной игры (N, V) называют ре-
         шением по Нейману – Моргенштерну (или Н – М решением) если:
               1) из того, что X f Y следует, что либо X ∉ R, либо Y ∉ R;
               2) для любого X ∉ R существует такой Y ∈ R, что Y f Х.
               Между С – ядром кооперативной игры и ее Н – М решением имеется
         связь, выражаемая следующей теоремой.
               Теорема 7. Если в кооперативной игре имеется С – ядро С и Н – М
         решение R, то С ⊂ R.
               Доказательство. Если дележ Х ∈ С, то он не может доминироваться
         каким-либо другим дележом. Если же он не принадлежит решению, то он
         должен доминироваться некоторым дележом из решения. Следовательно,
         принадлежащий С – ядру дележ должен принадлежать и каждому Н – М
         решению.
               Следует отметить, что Н – М решение кооперативной игры не может
         состоять только из одного дележа.
               Теорема 8. Если некоторое Н – М решение кооперативной игры (N,
         V) состоит из единственного дележа Х, то характеристическая функция V
         является несущественной.


         14


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы