Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 28 стр.

              Среднее время ожидания в очереди
                     M ож      γ2          γ
               tож =      =           =            (24)
                      λ     γ (1 − λ ) µ (1 − γ ),
              где tож – время ожидания среднего числа единиц, или сред-
         нее время ожидания в очереди.
              Рассмотрим теперь случай, когда число однородных обслу-
         живающих устройств равно n. Как и ранее будем считать, что нет
         ограничений на длину очереди. При этом можно записать:
                     −λ P0 + µ P1 = 0;
                    .............................................................................
                    
                     λ Pk −1 − (λ + k µ ) Pk + ( k + 1) µ Pk +1 = 0, (1 ≤ k < n );                    (25)
                     .............................................................................
                     
                     λ Pn −1 − (λ + nµ ) Pk + n µ Pk +1 = 0, k ≥ n.
                Отсюда
                                             γk
                                     Pk = P0          при 1 ≤ k < n;                     (26)
                                             k!
                                                γk
                                     Pk = P0             при k ≥ n.                       (27)
                                             n ! n k −n
                                        ∞

                Из условия             ∑P
                                       k =0
                                              k   = 1 , имеем:

                       γ   2
                                 γ n γ n +1 1        γ n +l 1        
            P0  1 + γ + + ... +    +      ⋅ + ... +       ⋅ l + ...  = 1; ⇒
                       2!       n! n! n              n! n           
                                                                                                       −1
                        γ2         γ n −1  γn  γ γ2         γl       
            P0 = 1 + γ + + ... +          +  1 + + 2 + ... + l + ...                                      (28)
                        2!       ( n − 1)! n !  n n         n        
              При (γ/n) < 1 ряд в круглых скобках сходится. Сумма членов
         этого ряда равна:
                                                             1              n
                                                                      =        .
                                                                 γ        n −γ
                                                         1−
                                                                 n
                Тогда Р0 можно записать в виде:
                                                                                                  −1
                                               n −1 γ k    γn       1 
                                         P0 =  ∑ +               ⋅       .
                                               k =0 k ! ( n − 1)! n − γ 

                                                                 28


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com