Основы теории массового обслуживания. Смагин Б.И. - 27 стр.

                                                        P1 = γ P0 ;
                                                        P2 = γ 2 P0 ;
                                                       ...............
                                                        Pk = γ k P0 .
                                      ∞

                Если k→∞, то         ∑ P = 1, т.е.
                                     i =0
                                                i


                                     (1 + γ + γ          2
                                                             + ... + γ k + ...) P0 = 1.
               Сумма геометрической прогрессии с первым членом, рав-
         ным 1, знаменателем прогрессии γ равна 1/(1 – γ). Следовательно,
         1 = P0/(1 – γ), откуда
                                 P0 = 1 − γ ;
                                                     (21)
                                 k
                                  P  = (1 − γ  )γ k
                                                    .
               Среднее число заявок, находящихся в системе массового
         обслуживания, равно:
                              ∞             ∞
                       M = ∑ kPk = ∑ kγ k (1 − γ ) = (1 − γ )(γ + 2γ 2 + 3γ 3 + ...) =
                             k =0         k =0

                                            = γ (1 − γ )(1 + 2γ + 3γ 2 + ...).
                Рассмотрим последнюю скобку:
                                                                         d  γ 
                   1 + 2γ + 3γ 2 + ... =
                                             d
                                            dγ
                                               ( γ + γ 2 + γ 3 + ...) =                =
                                                                                            1
                                                                        d γ  1 − γ  (1 − γ )2
                                                                                                  .

                Таким образом,
                                                    γ (1 − γ )          γ
                                     M=                            =       .     (22)
                                                    (1 − γ )           1−γ
                                                               2


               Пусть l – длина очереди. Так как число аппаратов k = 1, то l
         = k – 1, Поток пуассоновский, значит, стационарный, поэтому
                       M M ож           1             γ2
                          =     ; M ож = M λ = γ M =      ,   (23)
                        µ    λ          µ            1− γ
               где М/µ - время обслуживания среднего числа единиц в сис-
         теме.




                                                              27


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com