Составители:
Рубрика:
2 3
УДК 519.95 (075.8)
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор М. А. Нарбут (Санкт-Петербургский
государственный университет); канд. физ.-мат. наук, доцент А. И. Шепелявый
(Санкт-Петербургский государственный университет)
В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова
Неопределённый интеграл: учебное пособие / СПб. гос. архит.-
строит. ун-т. – СПб., 2007. – с.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Неопре-
делённый интеграл» студентами специальностей с сокращенным курсом матема-
тики. Даны основные определения и теоремы. Приводится методика решения за-
дач. Рассмотрены многочисленные примеры.
Табл. 4. Библиогр.: 5 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия
ã В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова, 2007
ã Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет,
2007
Данное пособие посвящено решению задачи, обратной задаче
нахождения производной. Пусть задана производная некоторой функции.
Требуется найти эту функцию.
1. ПЕРВООБРАЗНАЯ
Определение 1. Функция
)
(
x
F
называется первообразной для
функции
)
(
x
f
в промежутке
Χ
, если для всех х
Χ
x
Î
справедливоо
равенство
).
(
)
(
x
f
x
F
=
¢
(1.1)
Замечание. Если промежуток
Χ
специально не оговорен, этоо
означает, что равенство (1.1) справедливо для всех
x
из области
определения функции
)
(
x
f
.
Пример 1.1. Пусть
x
x
f
2
sin
)
(
=
. Легко установить, чтоо
xxF 2cos
2
1
)( -=
. Действительно,
xxx 2sin2)2sin(
2
1
)2cos
2
1
( =--=
¢
-
.
Заметим, что любая функция вида
Cx +- 2cos
2
1
, где
C
– число, являетсяся
первообразной для функции
x
2
sin
.
Сделанное в связи с приведенным примером замечание имеет общий
характер. Легко показать, что если
)
(
x
F
является первообразной для
функции
)
(
x
f
в промежутке
Χ
, то любая функция
C
x
F
+
)
(
, где де
C
–
число, является первообразной для функции
)
(
x
f
в промежутке
Χ
.
Действительно,
).
(
)
(
)
)
(
(
x
f
x
F
C
x
F
=
¢
=
¢
+
Возникает вопрос, нет ли у функции
)
(
x
f
первообразных, отличных
от
C
x
F
+
)
(
, где
)
(
)
(
x
f
x
F
=
¢
, а
C
– число. Оказывается, таких
первообразных нет.
