Составители:
Рубрика:
4 5
Теорема 1. Пусть
)
(
x
F
является первообразной для функции
)
(
x
f
в промежутке
Χ
. Тогда любая другая первообразная для функции
)
(
x
f
в этом промежутке имеет вид
0
)( CxF
+
, где
0
C
– число.о.
Доказательство. Предположим, что функция
)
(
x
f
имеет в про-
межутке
Χ
, кроме первообразной
)
(
x
F
, отличную от нее первообразную
)
(
x
F
, т. е.
)
(
)
(
x
f
x
=
F
¢
. Составим разность
)
(
x
=
Y
)
(
)
(
)
x
F
x
-
F
=
.
Заметим, что
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
-
=
¢
-
F
¢
=
Y
¢
x
f
x
f
x
F
x
x
при всех
Î
x
Χ
. Рассмотрим любые )x(xΧx,x
2
1
2
1
<
Î
. По теореме
Лагранжа
),(
ˆ
),)(
ˆ
()()(
2
1
1
2
1
2
xxxxxxxx
Î
-
Y
¢
=
Y
-
Y
.
Следовательно,
0)()(
12
=
Y
-
Y
xx
для любых
C
Î
2
1
, xx
. Таким
образом, при
Î
x
Χ
имеем
.
const
)
(
º
Y
x
Отсюда следует, что
,)()(
0
CxFx
+
=
F
где
0
C
– постоянная.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Определение 2. Пусть функция
)
(
x
F
является первообразной для
функции
)
(
x
f
для всех
Χ
x
Î
. Выражение
C
x
F
+
)
(
, где е
C
можетет
принимать любое постоянное значение, называется неопределенным
интегралом от функции
)
(
x
f
и обозначается
ò
.)( dxxf
Таким образом,
ò
+
=
,)()( CxFdxxf (2.1)
где
)
(
)
(
x
f
x
F
=
¢
.
Функция
)
(
x
f
называется подынтегральной функцией,
произведение
dx
x
f
)
(
– подынтегральным выражениемм, а слагаемое
C
– произвольной постоянной. Процесс определения первообразной или
неопределенного интеграла от функции
)
(
x
f
называется интегри-
рованием функции
)
(
x
f
.
Замечание. Обозначение неопределенного интеграла представляет
собой символ интеграла «
ò
», за которым следует дифференциальноее
выражение
f(x)dx
. Последнее является дифференциалом искомой
первообразной. Действительно,
).
(
)
(
)
(
x
dF
dx
x
F
dx
x
f
=
¢
=
Такое обозначение очень удобно для объяснения и осуществления
некоторых методов интегрирования. В частности, такое обозначение явно
указывает переменную, по которой ведется интегрирование.
Перечислим свойства неопределенного интеграла, которые
вытекают непосредственно из его определения.
ò
=
¢
)())(( xfdxxf
(2.2)
или
ò
=
,)()( dxxfdxxfd
(2.3)
т. е. знак дифференциала «уничтожает» знак интеграла.
ò
+=
¢
CxFdxxF )()(
(2.4)
или
ò
+= ,)()( CxFxdF
(2.5)
