Составители:
Рубрика:
6 7
т. е. знак интеграла «уничтожает» знак дифференциала, но при этом
появляется постоянное слагаемое.
Формула (2.2) дает возможность проверять правильность вычис-
ления неопределенного интеграла: производная от неопределенного ин-
теграла должна быть равна подынтегральной функции.
Справедливо следующее утверждение, которое мы приведем здесь
без доказательства.
Теорема 2. Любая непрерывная в данном промежутке функция
имеет в нём первообразную.
Замечание. Все элементарные функции непрерывны в области сво-
его задания. Следовательно, по теореме 2 существование первообраз-
ных для этих функций обеспечено. Однако далеко не всегда первообраз-
ную от элементарной функции можно выразить в терминах элементар-
ных функций. Так, например, невозможно выразить с помощью элемен-
тарных функций неопределенные интегралы:
ò ò ò
.
sin
,)sin(,
2
2
dx
x
x
dxxdxe
x
Иными словами, не существует таких элементарных функций,
производные от которых были бы равны
.
sin
),sin(,
2
2
x
x
xe
x
Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, называются
неберущимися.
По аналогии интегралы, которые можно выразить в терминах эле-
ментарных функций, назовем берущимися.
Далее мы познакомимся с некоторыми основными методами нахож-
дения первообразных. Однако многие известные методы нам охватить не
удастся. Заметим также, что интегрирование некоторых функций требует
весьма громоздких преобразований. Так что наряду с освоением методов
интегрирования необходимо освоить использование справочников. Спра-
вочные пособия охватывают все типы берущихся интегралов. Однако очень
часто приходится проделать определенную подготовительную работу, что-
бы привести неопределённый интеграл к тому типу, который указан в спра-
вочнике. Что же касается несложных интегралов, то их часто проще вы-
числить самостоятельно, нежели найти в справочнике.
3. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Приведем здесь формулы, которые необходимо знать наизусть. Они
лежат в основе всего процесса интегрирования. Первые десять формул
получены непосредственно из таблицы производных основных элемен-
тарных функций. Перечислим их.
1.
ò
=
Cdx0 , где
C
= const. (3.1)
2.
ò
+
+
=
+
C
a
x
dxx
a
a
1
1
, если
1
-
¹
a
. (3.2)
В частности,
ò
+
=
Cxdx (см. также формулу (2.5).
3.
ò
+= Cx
x
dx
ln
. (3.3)
Поясним появление в этой формуле символа модуля. Таблица
производных дает формулу
x
x
1
)(ln =
¢
. Здесь автоматически предпола-
гается, что
0
>
x
, и, следовательно, для
0
>
x
справедливо соотношение
ò
+= Cx
x
dx
ln
. (3.4)
Рассмотрим теперь функцию
)
ln(
x
-
, определённую при
0
<
x
.
Поскольку
x
x
x
1
)1(
1
))(ln( =-×
-
=
¢
-
,
то для
0
<
x
справедливо равенствоо
ò
+-= Cx
x
dx
)ln(
. (3.5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
