Составители:
Рубрика:
45
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
таков:
.0),,( =
′
yyxF
(1.1)
Здесь
)(xуу =
.
Решением уравнения (1.1) на промежутке
X
(открытом или зам-
кнутом, конечном или бесконечном) называется дифференцируемая на
промежутке
X
функция
)(xyy =
, которая при подстановке в (1.1) об-б-
ращает его в тождество относительно аргумента
Xx ∈
.
Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно производной,
то оно принимает вид
)).((),,( xyyyxfy ==
′
(1.2)
В этом пособии мы будем рассматривать именно такие уравнения.
Приведем два примера уравнений первого порядка и постараемся
найти их решения.
1. Рассмотрим уравнение
xxy 2cos)( =
′
. (1.3)
Легко видеть, что функция
xxy 2sin
2
1
)( =
является решением уравнения
(1.3) при всех
),( ∞−∞∈x
. Действительно,
)(xy
– первообразная для
функции
x2cos
. Но любая функция вида
Cxy += 2sin
2
1
, (1.4)
где
const=C
, также является первообразной функции
x2cos
и, следова-а-
тельно, является решением уравнения (1.3). Так что уже этот пример по-
зволяет сделать вывод, что дифференциальное уравнение имеет беско-
нечное множество решений.
2. Рассмотрим уравнение
)(2)( xyxy =
′
. (1.5)
Нетрудно догадаться, что его решением при всех
),( ∞−∞∈x
является
функция
x
xy
2
e)( =
(ведь только функция вида
xα
e
, где
α
– число,
не меняет своего вида при дифференцировании). Нетрудно также уви-
деть, что любая функция
x
Cy
2
e=
, (1.6)
где
const=C
, является решением уравнения (1.5). Таким образом, вы-
вод, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество ре-
шений, подтверждается и на этом примере.
Любое уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений. Что-
бы конкретизировать какую-то функцию из этого множества, для уравне-
ния (1.2) задают начальное условие
0
0
)( yxy
xx
=
=
. (1.7)
Оно читается так: функция
)(xy
при
0
xx =
имеет значение
0
y
. Условие
(1.7) часто записывают в виде
00
)( yxy =
.
Заметим, что при
0
xx
=
,
0
yy
=
функция
),( yxf
должна быть оп-
ределена.
Поскольку любое уравнение (1.2) имеет бесконечно много реше-
ний, для него вводятся понятия общего и частного решений.
Общим решением уравнения (1.2) называется семейство функций
),( Cxy ϕ=
, зависящих от независимой переменной
x
и произвольной
постоянной
C
, обладающее следующими свойствами:
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
