Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1) для любого конкретного значения
0
CC
=
функция
),(
0
Cxy
ϕ=
удовлетворяет уравнению (1.2);
2) для любой пары чисел
),(
00
yx
, для которой функция
),( yxf
определена, найдется такое значение
0
CC
=
, что
),(
0
Cx
ϕ
удовлетво-о-
ряет начальному условию (1.7).
Обратимся к рассмотренным ранее примерам. Убедимся, что реше-
ние (1.4) является общим решением уравнения (1.3). Пусть задано усло-
вие (1.7). Оно эквивалентно требованию
000
2sin
2
1
Cxy +=
.
Таким образом,
000
2sin
2
1
xyC −=
. Тогда функция
00
2sin
2
1
2sin
2
1
xyxy −+=
удовлетворяет условию (1.7).
Легко убедиться, что формула (1.6) дает общее решение уравнения
(1.5). Действительно, при любом С функция
x
Cy
2
e=
удовлет воряет урав-
нению (1.5), и для любой пары
),(
00
yx
функция
x
x
yy
2
2
0
e)e(
0
−
=
(т. е.
0
2
0
0
e
x
y
C =
) удовлетворяет начальному условию (1.7).
Частным решением уравнения (1.2) называется решение, полу-
ченное из общего при конкретном значении
.
Таким образом, общее решение является совокупностью частных
решений.
У уравнения (1.2) могут оказаться решения, которые не могут быть
получены из общего решения ни при каком значении С. Мы их рассмат-
ривать не будем. Нас будет интересовать нахождение общих и частных
решений дифференциальных уравнений.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения назы-
вается интегрированием дифференциального уравнения.
Замечание. Часто при интегрировании дифференциального урав-
нения зависимость между функцией
y
, ее аргументом x и произвольной
постоянной
не удается получить в виде
),( Cxy ϕ=
, а удается полу-
чить в виде
0),,( =Φ Cyx
. (1.8)
Равенство (1.8) называется общим интегралом дифференциально-
го уравнения (1.1). Равенство
0),,(
0
=Φ
Cyx
, (1.9)
полученное из (1.8) при конкретном значении
0
CC =
, называется част-
ным интегралом уравнения (1.1).
Заметим, что каждое частное решение уравнения (1.2)
),(
0
Cxy
ϕ=
задает линию на плоскости
xOy
. Эта линия называется интегральной
кривой уравнения. Общее решение геометрически определяет множество
интегральных кривых.
В связи с частными решениями уравнения (1.2) часто ставится за-
дача Коши. Эта задача состоит в нахождении решения уравнения (1.2),
удовлетворяющего заданному начальному условию (1.7).
Мы не излагаем здесь теорем, гарантирующих существование и един-
ственность решения задачи Коши (1.2), (1.7). Они изложены в учебном
пособии [6].
Если дифференциальное уравнение таково, что его общее решение
или общий интеграл можно выразить через элементарные функции и нео-
пределенные интегралы от элементарных функций (при этом интегралы
могут оказаться неберущимися), то говорят, что уравнение интегрирует-
ся в квадратурах. Существует несколько типов уравнений первого по-
рядка, которые интегрируются в квадратурах. В этом пособии
будут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее, с разделяю-
щимися переменными, линейное, обобщенное линейное (уравнение
Я. Бернулли) и однородное.
1.1. Простейшие уравнения
Их общий вид таков:
)(xfy =
′
. (1.10)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы