Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10 11
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 1.2. Найти общее решение уравнения
x
y
y
4
2
+
=
′
. (1.15)
Решение. Перепишем уравнение в виде
4
2
+= y
dx
dy
x
и, «разделив» переменные, получим
x
dx
y
dy
=
+ 4
2
. (1.16)
Отсюда
∫∫
+=
+
C
x
dx
y
dy
ln
4
2
.
Здесь произвольная постоянная выбрана в виде
Cln (
0≠C
). Пос-с-
ле вычисления интегралов получаем
Cxyy lnln4ln
2
+=++
или
)0(4
2
≠=++ СCxyy
.
Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (1.15).
Пример 1.3 [1]. Дано дифференциальное уравнение
)0(2 >=
′
yyy
. (1.17)
А. Найти его общее решение.
Б. Решить для него задачу Коши с начальным условием
1
1
=
=
x
y
. (1.18)
Решение
А. Запишем уравнение (1.17) в виде
dx
y
dy
=
2
. (1.19)
Проинтегрируем (1.19). Получим
∫∫
+= Cdx
y
dy
2
или
Cxy +=
. (1.20)
Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко увидеть, что гео-
метрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол
CxCxy −>+= ,)(
2
(рисунок).
x
y
0
Интегральные кривые уравнения (1.17)
Б. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу
(1.20) начальные данные
1=x
и
1=y
. Получим
0;11 =+= CC
.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
yx =
. (1.21)
График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы