Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или
x
dx
v
dv
=
.
Тем самым выражение
x
uv
uv −
′
в уравнении (1.29) обращается в ноль.
Интегрируя последнее равенство, получаем
xv lnln =
или
xv =
.
Подставляем найденную функцию
)(xv
в уравнение (1.29).
Получаем
3
xxu
=
′
или
.
2
xu =
′
Тогда
C
x
xu +=
3
)(
3
.
Общее решение (1.28) имеет вид
3
)(
4
x
Cxxy +=
.
Пример 1.5. Найти общее решение уравнения
x
y
y
2
e=+
′
. (1.30)
Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде
uvy =
. Тогда
(1.30) принимает вид
x
x
uv
uvvu
2
e=+
′
+
′
. (1.31)
Выберем функцию
)(xv
так, чтобы она была решением уравнения
0=+
′
x
v
v
(1.32)
или
.
x
dx
v
dv
−=
Интегрируя это равенство, получаем
xv lnln −= ,
откуда
x
v
1
=
.
(Мы воспользовались свойством
),0(lnln RAAA ∈α>=α
α
.)
Подставляем найденную функцию
)(xv
в (1.31). Получаем
x
xu
2
e=
′
,
откуда
Cdxxxu
x
+=
∫
2
e)(
или
Cxxu
xx
+−=
22
e
4
1
e
2
1
)(
.
Общее решение уравнения (1.30) имеет вид
xx
xx
C
xy
22
e
4
1
e
2
1
)( −+=
.
Пример 1.6. Решить задачу Коши
)e(cos2
22 x
yy =+
′
, (1.33)
2
0
=
=
x
y
. (1.34)
Решение. Прежде всего следует получить общее решение уравнения
(1.33). Ищем решение в виде
uvy =
. Подставим его в (1.33). Получим
)e(cos2
22 x
uvuvvu =+
′
+
′
. (1.35)
Выберем функцию v так, чтобы
02 =+
′
uvuv
. Тогда
02 =+
′
vv
. (1.36)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы