Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:
dx
v
dv
2−=
,
∫∫
−= dx
v
dv
2
,
xv 2ln −= ,
x
v
2
e
−
=
. (1.37)
Подставляем функцию
)(xv
из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем
)e(cose
222 xx
u =
′
,
откуда
Cdxxu
xx
+
∫
= )e(cose)(
222
.
Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помо-
щью замены
x
z
2
e
=
:
( )
∫∫∫
=+== dzzzdzdx
xx
12cos
4
1
cos
2
1
)e(cose
2222
( )
xx
z
z
22
e
1
e2sin
1
2sin
1
+=+=
.
Таким образом,
( )
Cxu
xx
++=
22
e
4
1
e2sin
8
1
)(
,
и общее решение уравнения (1.33) имеет вид
4
1
)e2sin(e
8
1
e)(
222
++=
−− xxx
Cxy
. (1.38)
Теперь, чтобы найти постоянную C, подставим значения x и y
из начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим
4
1
2sin
8
1
2 ++= C
.
Следовательно,
2sin
8
1
4
7
−=C
, и решение задачи (1.33), (1.34) име-
ет вид
( )
4
1
e2sine
8
1
e2sin
8
1
4
7
)(
222
++
−=
−− xxx
xy
.
1.4. Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли)
Уравнение Я. Бернулли имеет вид
,)()(
a
yxfyxpy =+
′
(1.39)
где
1≠a
и
0≠a
(в случае
1=a
уравнение (1.39) превращается в уравне-
ние с разделяющимися переменными, а в случае
0=a
– в линейное урав-
нение).
Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бер-
нулли, что и линейное уравнение (1.23), т. е. реализуется следующая
схема:
1. Ищем решение в виде произведения двух функций
)()()( xvxuxy =
. (1.40)
2. Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем урав-
нение
aa
vuxfuvxpuvvu )()( =+
′
+
′
(1.41)
и выбираем функцию
)(xv
так, чтобы она была частным решением урав-
нения
0)( =+
′
vxpv
. (1.42)
Тогда
∫
−
=
dxxp
xv
)(
e)(
. (1.43)
3. Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и полу-
чаем для определения
)(xu
уравнение с разделяющимися переменными
aa
uxvxfxvu )()()( =
′
. (1.44)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы