Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
Обыкновенные дифференциальные уравнения
При решении примера 1.5 показано, что решением этого уравнения
является функция
x
v
1
=
. Тогда из (1.53) получаем уравнение для нахож-
дения
)(xu
:
)4(
22
2
+
=
′
xx
u
x
u
или
)4(
22
+
=
xx
dx
u
du
. (1.54)
Интегрируем (1.54). Получаем
C
xx
dx
u
+
+
=−
∫
)4(
1
2
. (1.55)
Найдем
∫
+ )4(
2
xx
dx
. Для этого представим правильную дробь
)4(
1
2
+xx
в виде суммы простейших дробей:
4)4(
1
22
+
+
+=
+ x
DBx
x
A
xx
.
Определим коэффициенты А, В и D из тождественного равенства
многочленов
)()4(1
2
DBxxxA +++≡
,
откуда
=
=
=+
,14
;0
;0
A
D
BA
или
0,
4
1
,
4
1
=−== DBA
. Таким образом,
( )
4
ln
4
1
4ln
8
1
ln
4
1
4
4
1
4
1
)4(
2
2
22
+
=+−=
+
−=
+
∫ ∫∫
x
x
xx
x
xdx
x
dx
xx
dx
.
Тогда формула (1.55) приобретает вид
C
x
x
u
+
+
=−
4
ln
4
11
2
.
Учитывая, что
x
u
uvy ==
, а значит,
, получим
C
x
x
yx
+
+
=−
4
ln
4
11
2
,
откуда
4
ln
4
2
+
+
−=
x
x
xCx
y
.
Пример 1.9 [4]. Найти общее решение уравнения
)0( >=+
′
yyxyy
. (1.56)
Решение. Это – уравнение Бернулли, где
2
1
=a
. Ищем его решение
в форме
. Тогда уравнение (1.56) приобретает вид
vuxuvuvvu =+
′
+
′
. (1.57)
Требуем, чтобы функция
)(xv
удовлетворяла уравнению
.0=+
′
vv
(1.58)
Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися перемен-
ными:
dx
v
dv
−=
,
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы