Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 23
Обыкновенные дифференциальные уравнения
∫∫
−= dx
v
dv
,
xv −=ln ,
.e
x
v
−
=
Подставляем найденную функцию
)(xv
в (1.57). Получаем
uxu
x
x
2
ee
−
−
=
′
или
dxx
u
du
x
2
e=
. (1.59)
Интегрируем (1.59):
Cdxx
u
du
x
+=
∫∫
2
e
. (1.60)
Найдем первообразную, стоящую в правой части (1.60), интегрируя
по частям. Положив
dxdzxt
x
2
e, ==
, найдем
dxdt =
и
2
e2
x
z
=
. Тогдада
22222
e4e2e2e2e
xxxxx
xdxxdxx −=−=
∫∫
.
Формула (1.60) принимает вид
Cxu
xx
+−=
22
e4e22
. (1.61)
Учитывая, что
v
y
u =
, или
x
yu e=
, определим из (1.61) общий ин-
теграл уравнения (1.56) в виде
2
e2
x
Cxy
−
+−=
.
1.5. Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однород-
ным, если оно может быть приведено к виду
.
=
′
x
y
fy
(1.62)
Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62),
введем новую функцию
x
xy
xz
)(
)( =
, так что
.
Тогда
)()()( xzxzxxy +
′
=
′
и уравнение (1.62) можно записать
в виде
zzfzx −=
′
)(
. (1.63)
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными
x
dx
zzf
dz
=
−)(
.
Проинтегрируем его:
)0(ln
)(
≠+=
−
∫∫
CC
x
dx
zzf
dz
;
xC
zzf
dz
ln
)(
=
−
∫
. (1.64)
Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения пер-
вообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены
z
на
x
y
получим
общий интеграл уравнения (1.62).
Пример 1.10. Найти общее решение уравнения
yx
yx
y
−
+
=
′
. (1.65)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы