Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18 19
Обыкновенные дифференциальные уравнения
4. Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяем
переменные и получаем
dxxvxf
u
du
a
a
)()(
1−
=
.
Тогда
.)()(
1
1
11
Cdxxvxfu
a
aa
+=
−
∫
−−
(1.45)
5. Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобно
в (1.45) заменить функцию
)(xu
по формуле
)(
)(
)(
xv
xy
xu =
,
полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид
( )
( )
∫
+−=
−−−
Cdxxvxfxvaxy
aaa
)()()(1)(
111
. (1.46)
Пример 1.7. Найти общее решение уравнения
xy
x
y
y ln
3
=−
′
. (1.47)
Решение. Это – уравнение Бернулли с
3=a
. Применяем метод Бер-
нулли и ищем решение в виде
uvy =
. Тогда уравнение (1.47) приобретает
вид
xvu
uv
uvvu ln
33
=−
′
+
′
. (1.48)
Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению
.0=−
′
x
v
v
В примере 1.4 показано, что решением этого уравнения является
функция
xv =
. Тогда из (1.48) получаем уравнение для нахождения
)(xu
:
xxuxu ln
33
=
′
или
xdxx
u
du
ln
2
3
=
. (1.49)
Интегрируем (1.49):
Cxdxxu +=−
∫
−
ln
1
22
или
C
x
x
x
u
+−=−
9
ln
3
2
1
33
2
. (1.50)
Учитывая, что
x
y
u =
, получим из (1.50) общий интеграл (1.47)
в виде
C
x
x
x
y
x
+−=−
9
ln
3
2
33
2
2
или
Cxxx
x
y
+−
=
ln62
9
33
2
2
. (1.51)
Пример 1.8. Найти общее решение уравнения
4
2
2
+
=+
′
x
y
x
y
y
. (1.52)
Решение. Это – уравнение Бернулли, где
2=a
. Согласно методу
Бернулли полагаем
uvy =
. Тогда уравнение (1.52) принимает вид
4
2
22
+
=+
′
+
′
x
vu
x
uv
uvvu
. (1.53)
Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению
.0=+
′
x
v
v
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы