Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 1.12 [3]. Найти общее решение уравнения
22
2
222
4
yxyx
xyy
y
+−
−
=
′
. (1.69)
Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно,
преобразуем его к виду
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
x
y
x
y
x
y
y
+−
−
=
′
. (1.70)
Теперь сделаем замену
x
y
z =
. Получим
2
2
222
4
zz
zz
zxz
+−
−
=+
′
или
222
632
2
23
+−
−+−
=
′
zz
zzz
xz
. (1.71)
«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его.
Это дает
C
x
dx
dz
zzz
zz
ln
632
222
23
2
−=
−+−
+−
∫∫
. (1.72)
Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим,
что
( )
666632
223
−+−=
′
−+− zzzzz
.
Тогда
( )
zzz
zzzd
dz
zz
632ln
3
1
632
3
1
222
23
23
23
23
2
−+−−=
−+−
−+−
−=
−+−
+−
∫∫
.
В результате формула (1.72) приобретает вид
Cxzzz lnln632ln
3
1
23
−=−+−−
или
( )
zzzxC 632
233
−+−=
.
Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем
z
на
x
y
и
C
на
C−
, находим общий интеграл уравнения (1.69)
Cyxxyy =+−
223
632
.
1.6. Решение задачи Коши для различных типов уравнений
первого порядка
Пример 1.13 [4]. Решить задачу Коши:
x
y
y
x
y +=
′
, (1.73)
2e
e
=
=x
y
. (1.74)
Решение. Сначала получим общий интеграл уравнения (1.73). Это –
однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернул-
ли, где
1−=a
). Введем функцию
x
xy
xz
)(
)( =
. Тогда
)(xy =
′
)()( xzxxz
′
+=
и уравнение (1.73) примет вид
z
zx
1
=
′
(1.75)
или
x
dx
zdz =
. (1.76)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы