Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Интегрируя (1.76), получим
Cx
z
+= ln
2
2
.
Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид
Cx
x
y
+= ln
2
2
2
. (1.77)
Теперь подставим в (1.77) значения
x
и
y
из начального условия
(1.74). Получим для определения
C
уравнение
С+= 11
,
откуда
0=С
. Тогда искомый частный интеграл уравнения (1.73)
имеет вид
222
ln xxy =
.
Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73)–
(1.74) имеет вид
2
ln xxу =
.
Пример 1.14. Решить задачу Коши:
2
y
x
y
y =+
′
, (1.78)
1
1
=
=x
y
. (1.79)
Решение. Уравнение (1.78) является уравнением Бернулли (
2=a
).
Найдем его общее решение. Положим
uvy =
. Уравнение (1.78) приобре-
тает вид
22
vu
x
uv
uvvu =+
′
+
′
. (1.80)
Выбираем функцию
v
так, чтобы она удовлетворяла уравнению
0=+
′
x
v
v
.
При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетво-
ряет решение
x
v
1
=
. Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахожде-
ния
)(xu
:
x
uu
1
2
=
′
или
x
dx
u
du
=
2
. (1.81)
Интегрируя (1.81), получаем
Cx
u
+=− ln
1
.
Тогда, поскольку
yx
v
y
u ==
, общий интеграл уравнения (1.78) име-
ет вид
Cx
xy
−−= ln
1
. (1.82)
Подставим начальные значения x и y из (1.79) в общий интеграл
(1.82). Получим
С−=2
.
Тогда решение задачи (1.78)–(1.79) имеет вид
)ln2(
1
xx
y
−
=
.
Пример 1.15. Решить задачу Коши:
4
2 yx
y
y
+
=
′
, (1.83)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы