Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30 31
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1
2
=
=x
y
. (1.84)
Решение. Прежде всего определим тип уравнения (1.83). Для этого
представим его в виде
y
yx
dy
dx
4
2 +
=
или
3
2
y
y
x
x
y
=−
′
. (1.85)
Уравнение (1.85) является линейным относительно функции
)( yxx =
.
Ищем его общее решение в виде
uvx =
. Тогда из (1.85) следует, чтоо
3
2
y
y
uv
uvvu =−
′
+
′
. (1.86)
Выбираем функцию
v
, удовлетворяющую уравнению
0
2
=−
′
y
v
v
.
Тогда
y
dy
v
dv
2=
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его част-
ное решение:
∫∫
=
y
dy
v
dv
2
,
yv ln2ln =
,
2
yv =
. (1.87)
Подставим (1.87) в (1.86) и получим уравнение для определения
)(xu
32
yyu =
′
или
yu =
′
.
Его общее решение имеет вид
C
y
yu +=
2
)(
2
.
Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующим
образом:
2
4
2
)( Cy
y
yx +=
. (1.88)
Подставим в (1.88) начальные значения
x
и
из (1.84). Получим
С+=
2
1
2
,
откуда
2
3
=С
. Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (1.83)–
(1.84) имеет вид
2
4
2
3
2
y
y
x +=
.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Страницы