Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34 35
Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижение
порядка
Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые мо-
гут быть сведены к уравнениям первого порядка.
2.1.1. Простейшие уравнения
Общий вид простейшего уравнения таков:
)(xfy =
′′
. (2.6)
Общее решение этого уравнения получается последовательным ин-
тегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка отно-
сительно
)(xy
′
:
)()( xfy =
′′
(2.7)
и получим общее решение этого простейшего уравнения:
∫
+=
′
1
)()( Cdxxfxy
. (2.8)
Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первого
порядка. Его общее решение имеет вид
( )
21
)()( CdxCdxxfxy ++=
∫ ∫
или
( )
21
)()( CxCdxdxxfxy ++=
∫ ∫
. (2.9)
Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является про-
стейшим уравнением.
Пример 2.1. Дано уравнение
xy 2cos=
′′
. (2.10)
А. Найти его общее решение.
Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными усло-
виями
1y ,1
00
−=
=
== xx
y
. (2.11)
Решение
А. Последовательно интегрируем (2.10):
∫
+=
′
1
2cos)( Cxdxxy
или
1
2sin
2
1
)( Cxxy +=
′
; (2.12)
∫
++=
21
)2sin
2
1
()( CdxCxxy
или
21
2cos
4
1
)( CxCxxy ++−=
. (2.13)
Б. Подставим значения
yyx
′
и,
из начальных условий (2.11) после-
довательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим
1
01 C+=−
,
откуда
1
1
−=
C
. Из (2.13) получим
2
4
1
1 C+−=
,
откуда
4
5
2
=C
.
Итак, решение задачи Коши (2.10)–(2.11) имеет вид
4
5
2cos
4
1
)( +−−= xxxy
.
2.1.2. Уравнения, в которых отсутствует искомая функция
Это уравнение имеет вид
),( yxfy
′
=
′′
. (2.14)
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы