Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36 37
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Введём новую функцию
).()( xyxz
′
=
(2.15)
Тогда
)()( xzxy
′
=
′′
и уравнение (2.14) можно рассматривать как урав-
нение первого порядка относительно
)(xz
),( zxfz =
′
.
Пусть
),(
1
Cxz
ϕ=
является общим решением этого уравнения. Тогда, учи-
тывая (2.15), имеем
),(
1
Cxy
ϕ=
′
. (2.16)
Мы получили простейшее уравнение первого порядка для определения
)(xy
. Общее решение уравнения (2.16) имеет вид
21
),()( CdxCxxy +ϕ=
∫
. (2.17)
Это и есть общее решение уравнения (2.14).
Пример 2.2. Дано уравнение
x
y
y
−=
′′
3
1
. (2.18)
А. Найти его общее решение.
Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.18) с начальными усло-
виями
2y ,1
11
=
′
=
==
xx
y
. (2.19)
Решение
А. Введём
)()( xyxz
′
=
. Тогда
)()( xzxy
′
=
′′
, и (2.18) можно записатьть
в виде
3
1
x
x
z
z =+
′
. (2.20)
Мы получили линейное уравнение первого порядка относительно
)(xz
. Решаем его методом Бернулли:
uvz =
,
3
1
x
x
uv
uvvu =+
′
+
′
. (2.21)
Выбираем функцию v так, чтобы
0=+
′
x
v
v
.
Это уравнение имеет решение (см. решение уравнения (1.32)
из примера 1.5)
x
v
1
=
.
Подставляем его в (2.21). Получаем
3
11
x
x
u =
′
или
2
1
x
u =
′
.
Тогда
1
1
)( C
x
xu +−=
и
+−=
1
11
)( C
xx
xz
или
.
1
)(
1
2
x
C
x
xz +−=
Отсюда
.
1
)(
1
2
x
C
x
xy +−=
′
(2.22)
Интегрируем простейшее уравнение (2.22):
∫
+
+−=
2
1
2
1
)( Cdx
x
C
x
xy
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы