Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40 41
Обыкновенные дифференциальные уравнения
и проинтегрируем (2.32):
)0(ln
11
≠+−=
∫∫
CC
y
dy
p
dp
.
Тогда
)0(lnlnln
11
≠+−= CCyp ,
откуда
y
C
p
1
=
. (2.33)
Учитывая, что
x
yp
′
=
, перепишем (2.33) следующим образом:
( )( )
xyy
y
C
y ==
′
1
. (2.34)
Это тоже уравнение с разделяющимися переменными. Отделим пе-
ременные в (2.34)
dxCydy
1
=
и снова проинтегрируем:
21
CxCydy +=
∫
.
Отсюда
21
2
CxCy +=
или
21
CxCy +±=
. (2.35)
Получено общее решение уравнения (2.29). Заметим, что решение
cons t=y
входит в общее решение (2.35).
Пример 2.4 [3]. Найти общий интеграл (или общее решение) урав-
нения
( )
( )( )
xyy
y
y
y =
′
+
=
′′
2
1
2
. (2.36)
Решение. Вводим новую независимую переменную
y
и новую фун-
кцию
x
yyp
′
=)(
. Тогда
ppy
y
′
=
′′
и (2.36) принимает вид
ypp
y
p
pp =
+
=
′
2
1
2
. (2.37)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведем его к виду
y
dy
p
pdp
=
+
2
1
2
и проинтегрируем:
)0(ln
1
2
11
2
≠+=
+
∫∫
СC
y
dy
p
pdp
.
Тогда
( )
)0(lnln1ln
11
2
≠+=+ СCyp
или
)0(1
11
2
≠=+ СyCp
. (2.38)
Из (2.38) и замены
x
yyp
′
=
)(
следует, чтоо
1
1
−±=
′
yCy
. (2.39)
Интегрируем (2.39):
2
1
1
Cx
yC
dy
+±=
−
∫
или
)0(1
2
121
1
≠+±=− СCxyC
C
.
Таким образом, найден общий интеграл исходного уравнения (2.36)
( )
)0(44
1
2
211
≠+±=− СCxCyC
.
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы