Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44 45
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или
)0(ln1lnln
11
≠=− CxCu .
Отсюда
xCu
1
1ln =−
или
1
1
e
+
=
xC
u
.
Тогда
1
1
e
+
=
xC
xz
или
1
1
e
+
=
′
xC
xy
. (2.47)
Уравнение (2.47) – простейшее уравнение первого порядка. Найдем
)(xy
непосредственным интегрированием. Получаем
2
1
1
e)( Cdxxxy
xC
+=
∫
+
.
Общее решение (2.44) имеет вид
+
+−
=
++
.
2
e
,e
1
e
1
)(
2
2
2
1
2
1
1
1
11
C
x
C
C
x
C
xy
xCxC
Пример 2.7. Реш ить задачу Коши:
( )
( )( )
xyy
y
y
y =
−
′
=
′′
1
4
2
, (2.48)
1,2
3
2
3
2
=
′
=
== xx
yy
. (2.49)
Решение. Уравнение (2.48) не содержит аргумента x. Будем рас-
сматривать переменную
как новую независимую переменную. Вве-
дем новую функцию
x
yyp
′
=
)(
. Тогда
ppy
y
′
=
′′
, и уравнение (2.48) при-
нимает вид
( )( )
ypp
y
p
pp =
−
=
′
1
4
2
. (2.50)
Отметим, что
0=p
является решением уравнения (2.50). Оно
не удовлетворяет начальным условиям (2.49). Так что интересующее нас
решение задачи Коши удовлетворяет уравнению
1
4
−
=
′
y
p
p
или
p
dp
y
dy
=
−1
4
. (2.51)
Проинтегрируем (2.51) и получим
1
ln1ln4 Cpy +=− . (2.52)
Подставим начальные значения
и
p
из условий (2.49). Получим,
что
0
1
=
C
. Тогда из (2.52) следует, чтоо
4
)1( −=
′
yy
или
dx
y
dy
=
−
4
)1(
. (2.53)
Интегрируя (2.53), получаем
.
)1(3
1
2
3
Сx
y
+=
−
−
(2.54)
Подставляя значения x и y из условий (2.49) в (2.54), получаем,
что C
2
= –1. Таким образом, искомое решение имеет вид
3
33
1
1
−
−=
x
y
.
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы