Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42 43
Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижение
порядка
Пример 2.5. Реш ить задачу Коши
12 −
′
=
′′
yy
, (2.40)
2,0
00
=
′
=
== xx
yy
. (2.41)
Решение. Уравнение (2.40) не содержит ни аргумента, ни искомой
функции. Положим
)()( xzxy =
′
. Тогда
)()( xzxy
′
=
′′
, и уравнение (2.40)
приобретает вид
12
−=
′
zz
или
dx
z
dz
=
−
12
. (2.42)
Общий интеграл уравнения (2.42) имеет вид
1
1 Cxz +=−
. (2.43)
Подставим в (2.43) начальные значения
yz
′
=
и x , доставляемые
формулами (2.41). Получим
1
1 C=
.
Подставив значение
1
1
=
C
в (2.43), получим уравнение первого по-
рядка
11 +=−
′
xy
или
2
)1(1 +=−
′
xy
.
Его общее решение имеет вид
2
3
3
1
)( Cx
x
xy ++
+
=
.
Снова используем формулы (2.41). Получим
2
3
1
)0(0 Cy +==
,
откуда
3
1
2
−=С
.
Итак, решение задачи Коши (2.40)–(2.41) имеет вид
( )
3
1
3
1
)(
3
−+
+
= x
x
xy
или
xxxxy 2
3
1
)(
23
++=
.
Пример 2.6 [3]. Найти общее решение уравнения
x
y
x
y
y
′′
=
′′
ln
. (2.44)
Решение. Уравнение (2.44) не содержит искомой функции. Введем
функцию
)()( xyxz
′
=
. Уравнение (2.44) приобретает вид
x
z
x
z
z ln=
′
. (2.45)
Это однородное уравнение. Осуществим замену
x
z
u =
. Тогда
uxz =
и
uxuz +
′
=
′
. Уравнение (2.45) преобразуется к виду
)1(ln −=
′
uuxu
или
x
dx
uu
du
=
− )1(ln
. (2.46)
Проинтегрировав (2.46), получим
)0(ln
)1(ln
11
≠+=
−
∫∫
CC
x
dx
uu
du
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы