Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46 47
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Общий вид линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка таков:
)()()( xfyxqyxpy =+
′
+
′′
. (3.1)
Если
0)( ≡xf
, то уравнение (3.1) называется однородным. В про-
тивном случае оно называется неоднородным.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
0)()( =+
′
+
′′
yxqyxpy
. (3.2)
3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородного
уравнения
Теорема 1. Если функции
)( и )(
21
xyxy
являются решениями ли-
нейного однородного уравнения (3.2) ) на промежутке
X
, то любая фун-
кция вида
)()()(
2211
xyCxyCxy +=
, (3.3)
где
21
– произвольные постоянные, тоже является решением урав-
нения (3.2) на промежутке X.
Доказательство. Вычислим первую и вторую производные от фун-
кции (3.3):
).()()(
),()()(
2211
2211
xyCxyCxy
xyCxyCxy
′′
+
′′
=
′′
′
+
′
=
′
Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения (3.2).
Получим
=+
′
+
′′
)()()()()( xyxqxyxpxy
)()(
2211
xyCxyC
+
′
+
′
+
+
′′
+
′′
=
)).()(()(
))()()((
2211
2211
xyCxyCxq
xyCxyCxp
++
+
′
+
′
+
(3.4)
Перегруппируем слагаемые в правой части равенства (3.4). Тогда
=+
′
+
′′
)()()()()( xyxqxyxpxy
{ }
++
′
+
′′
= )()()()()(
1111
xyxqxyxpxyC
{ }
)()()()()(
2222
xyxqxyxpxyC +
′
+
′′
+
. (3.5)
Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (3.5),
обращаются в ноль, поскольку
)( и )(
21
xyxy являются решениями
уравнения (3.2). Следовательно, при любых
21
и CC
справедливоо
тождество
0)()()()()( ≡+
′
+
′′
xyxqxyxpxy
,
и функция (3.3) при любых
21
и CC
является решением (3.2). Теоремаа
доказана.
3.2. Вронскиан и его свойство
Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть
)( и )(
21
xyxy
– два его частных решения на промежуткее
X
.
Определитель вида
)()()()(
)()(
)()(
)(
1221
21
21
xyxyxyxy
xyxy
xyxy
xW
′
−
′
=
′′
=
называется вронскианом решений
)(, )(
21
xyxy
(по имени польскогоо
математика Ю. Вронского). Конкретный вид функции
)(xW
определяет-
ся видом решений
)( и )(
21
xyxy
. Однако, каковы бы ни были
)( и )(
21
xyxy
, функциям
)(xW
присуще одно общее свойство.о.
Теорема 2. Либо вронскиан
)(xW
тождественно равен нулю при
всех
x
из промежутка
X
, либо он ни при одном значении x в нольль
не обращается.
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы