Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

50 51
Обыкновенные дифференциальные уравнения
В качестве примера рассмотрим снова уравнение (2.3)
0)()( =+
′′
xyxy
.
Это линейное однородное уравнение второго порядка. Легко прове-
рить, что у него есть следующие частные решения:
xxy sin)(
1
=
,
xxy cos)(
2
=
,
xxy sin5)(
3
=
.
Решения
)( и )(
21
xyxy
являются линейно независимыми. Действи-
тельно,
tg
)(
)(
2
1
= x
xy
xy
const≡
/
.
Точно так же линейно независимыми являются решения
)( и )(
32
xyxy
. А решения
)( и )(
31
xyxy
являются линейно зависимыми,
так как
5
)(
)(
1
3
=
xy
xy
.
Теорема 3. Для того чтобы частные решения
)( и )(
21
xyxy
линей-
ного однородного уравнения (3.2) были линейно независимыми
на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы соответствую-
щий им вронскиан
)(xW
нигде на промежутке X не обращался в ноль.
Доказательство. Рассмотрим функцию
2
1
и продифференци-
руем ее:
)(
)(
)(
)()()()(
)(
)(
2
2
2
2
2121
2
1
xy
xW
xy
xyxyxyxy
xy
xy
−
=
′
−
′
=
′
. (3.16)
Необходимость. Пусть решения
)( и )(
21
xyxy
линейно независи-
мы, т. е. справедливо соотношение (3.14). В силу соотношения (3.14) мо-
жем утверждать, что
′
)(
)(
2
1
xy
xy
не равна тождественно 0 при
Xx ∈
.
(Известно, что если для какой-либо функции
)(xΦ
справедливо тожде-
ство
0)( ≡Φ
′
x
при
),( bax ∈
, то функция
const)( ≡Φ x
при
),( bax ∈
.) Но
тогда из (3.16) следует, что вронскиан
)(xW
ни при каком
Xx ∈
в нольль
не обращается.
Достаточность. Пусть
)(xW
нигде на промежутке
X
в нольль
не обращается. Воспользуемся снова формулой (3.16). Из нее следует, что
).(0
)(
)(
2
1
Xx
xy
xy
∈≡
/
′
.
Следовательно,
const
)(
)(
2
1
≡
/
xy
xy
( )
Xx ∈
.
Теорема доказана.
3.4. Структура общего решения линейного однородного
уравнения
Теорема 4. Общее решение линейного однородного уравнения (3.2)
имеет вид
)()()(
2211
xyCxyCxy
+=
, (3.17)
где
21
и CC
– произвольные постоянные, а
)( и )(
21
xyxy
– любые ли-
нейно независимые частные решения уравнения (3.2).
Доказательство. Исходя из определения общего решения, нужно
показать:
1) функция (3.17) при любых
21
и CC
удовлетворяет уравнению (3.2);
2) для любых
100
, , bbx
найдутся конкретные значения
0
2
0
1
, CC
та-а-
кие, что функция
)( )()(
2
0
21
0
1
xyCxyCxy +=
будет удовлетворять началь-
ным условиям (2.5).
Справедливость первого из этих утверждений непосредственно сле-
дует из свойства суперпозиции решений.
Покажем справедливость утверждения 2). Рассмотрим начальные
условия (2.5):
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы