Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52 53
Обыкновенные дифференциальные уравнения
10
00
)( ,)( bxybxy
xxxx
=
′
=
==
.
Подставим значение
0
x
в решение (3.17) и его производную и по-
требуем выполнения условий (2.5). Получим систему двух линейных ал-
гебраических уравнений с двумя неизвестными
21
и CC
вида
=
′
+
′
=+
.)()(
,)()(
1022011
0022011
bxyCxyC
bxyCxyC
(3.18)
Значения
)(),(),(),(
02010201
xyxyxyxy
′′
являются её коэффици-
ентами. Заметим, что определителем матрицы системы (3.18) является
вронскиан
)()(
)()(
)(
0201
0201
0
xyxy
xyxy
xW
′′
=
.
Так как решения
)( и )(
21
xyxy
линейно независимы, то
0)(
0
≠xW
.
Следовательно, система (3.18) всегда имеет единственное решение.
Его можно получить по формулам Крамера:
)(
;
)(
0
2
0
2
0
1
0
1
xW
C
xW
C
∆
=
∆
=
, (3.19)
где
)(
)(
021
020
1
xyb
xyb
′
=∆
,
101
001
2
)(
)(
bxy
bxy
′
=∆
.
Функция
)()()(
2
0
21
0
1
xyCxyCxy +=
удовлетворяет и уравнению (3.2), и начальным условиям (2.5). Теорема
доказана.
3.5. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим частный случай уравнения (3.2), когда
)( и )( xqxp
по-
стоянны, т. е. рассмотрим уравнение
0=+
′
+
′′
qyypy
, (3.20)
где
qp и
– числа.
Покажем, что для уравнения (3.20) всегда можно найти пару линей-
но независимых частных решений и, следовательно, всегда можно пост-
роить общее решение.
Будем искать частные решения уравнения (3.20) в виде
kx
y e=
, (3.21)
где
– число. Заметим, что
kx
ky e=
′
,
kx
ky e
2
=
′′
. Подставим решение
в виде (3.21) и его производные в уравнение (3.20). Получим
0eee
2
=++
kxkxkx
qpkk
или
0)(e
2
=++ qpkk
kx
. (3.22)
Равенство (3.22) превращается в тождество лишь тогда, когда
яв-
ляется решением квадратного уравнения
0
2
=++ qpkk
. (3.23)
(Оно получено из (3.20) заменой производных
)2,1,0(
)(
=jy
j
на степе-
ни
j
k
.)
Уравнение (3.23) называется характеристическим уравнением для
дифференциального уравнения (3.20).
Итак, если k является корнем квадратного уравнения (3.23), то фун-
кция
kx
y e=
является решением дифференциального уравнения (3.20).
Известна формула, по которой вычисляются решения квадратного
уравнения (3.23):
2
4
2
2,1
qpp
k
−±−
=
. (3.24)
Заметим, что уравнение (3.23) может иметь два различных корня
(если
qp 4
2
>
), два одинаковых корня (при
qp 4
2
=
) и может не иметь
действительных корней (когда
qp 4
2
<
).
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы