Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

56 57
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Замечания: 1. Если характеристическое уравнение (3.23) имеет два
вещественных корня, то эти корни называются простыми (в отличие
от двукратного корня).
2. В случае, когда характеристическое уравнение (3.23) не имеет ве-
щественных корней, говорят о его комплексных корнях
β±α i
,
где
1
2
−=
i
, а
α
и
β
определяются по формулам (3.25). Арифметические
действия сложения и умножения над комплексными числами осуществ-
ляются как действия над многочленами относительно
i
с учетом того,
что
1
2
−=
i
. Так,
( ) ( )
( )
( )
02
22
2
=β+αβ±+α+β−α=+β±α+β±α ipqpqipi
.
Пример 3.1. Найти общее решение уравнения
076 =−
′
+
′′
yyy
. (3.26)
Решение. Составим характеристическое уравнение
076
2
=−+
kk
.
Оно имеет корни
1
k
,
7
2
−=
k
(случай 1). Общее решение (3.26)
имеет вид
xx
CCxy
7
21
ee)(
−
+=
.
Пример 3.2. Найти общее решение уравнения
0252 =+
′
+
′′
yyy
. (3.27)
Решение. Отметим сперва, что уравнение (3.27) формально отлича-
ет ся от урав нения (3.20) тем, что коэффициен т при
y
′′
у него отличен от 1.
В этом случае можно поделить уравнение на коэффициент при
y
′′
и привести его к виду (3.20). Можно поступить иначе: получить для него
алгебраическое характеристическое уравнение относительно
k
, заменяя
производные
)2,1,0(
)(
=jy
j
на степени
j
k
, и решать его по формулам,
составленным для полного (а не приведённого, как (3.23)) квадратного
уравнения. Составим характеристическое уравнение
0252
2
=++
kk
.
Найдём его корни:
−
−
=
−±−
=
.
2
1
;2
4
16255
2,1
k
Общее решение (3.27) имеет вид
2
2
2
1
ee)(
x
x
CCxy
−
−
+=
.
Пример 3.3. Найти общее решение уравнения
016249 =+
′
+
′′
yyy
. (3.28)
Решение. Составляем характеристическое уравнение
016249
2
=++
kk
.
Оно имеет один двукратный корень
3
4
21
−== kk
(случай 2).
Общее решение уравнения (3.28) имеет вид
x
xCCxy
3
4
21
e)()(
−
+=
.
Пример 3.4. Найти общее решение уравнения
0204 =+
′
−
′′
yyy
. (3.29)
Решение. Составляем характеристическое уравнение
0204
2
=+−
kk
,
в котором
20,4 =−= qp
. Это уравнение не имеет вещественных корней,
так как
080164
2
<−=− qp (случай 3). Введём числа
βα и
из (3.25):
2
2
=−=α
p
,
4
2
1680
2
4
2
=
−
=
−
=β
pq
.
Общее решение уравнения (3.29) имеет вид
xCxCxy
xx
4cose4sine)(
2
2
2
1
+= .
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы