Обыкновенные дифференциальные уравнения. Смирнова В.Б - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58 59
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 3.5. Реш ить задачу Коши:
084 =+
′
+
′′
yyy
, (3.30)
0
0
=
=
x
y
,
2
0
=
′
=
x
y
. (3.31)
Решение. Найдём сначала общее решение уравнения (3.30). Соста-
вим его характеристическое уравнение
084
2
=++ kk
, (3.32)
в котором
8,4 == qp
. Уравнение (3.32) не имеет вещественных корней,
поскольку
032164
2
<−=− qp
(случай 3). Введём числа
2
2
−=−=α
p
,
2
2
4
2
=
−
=β
pq
.
Общее решение имеет вид
xCxCxy
xx
2cose2sine)(
2
2
2
1
−−
+=
.
Подставим в него значения
из начальных условий (3.31).
Для этого сначала найдём его производную:
=−+−−=
′
−
)2sin22cos22cos22sin2(e)(
2121
2
xCxCxCxCxy
x
}2cos)22(2sin)22{(e
2121
2
xCCxCC
x
−+−−=
−
.
Далее:
2
0)0( Cy
==
,
21
222)0( CCy
−==
′
,
откуда
.0 ,1
21
== CC
Решение задачи Коши (3.29)–(3.30) имеет вид
xxy
x
2sine)(
2−
=
.
Пример 3.6. Реш ить задачу Коши:
065 =+
′
+
′′
yyy
, (3.33)
1
0
=
=
x
y
,
2
0
=
′
=
x
y
. (3.34)
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
065
2
=++
kk
.
Оно имеет два корня:
2
1
−=
k
,
3
2
−=
k
. Общее решение (3.33)
имеет вид
xx
CCxy
3
2
2
1
ee)(
−−
+=
.
Вычисляем его производную
xx
CCxy
3
2
2
1
e3e2)(
−−
−−=
′
.
Подставляем в общее решение и его производную значения
yyx
′
и,
из начальных условий (3.34):
21
1)0( CCy +==
,
21
322)0( CCy
−−==
′
.
Получена система уравнений для определения
21
и CC
=−−
=+
.232
;1
21
21
CC
CC
Эквивалентная (равносильная) система примет вид
=−
=+
,4
;1
2
21
C
CC
откуда
5
1
=
C
,
4
2
−=
C
.
Решение задачи Коши (3.33), (3.34) имеет вид
xx
xy
32
e4e5)(
−−
−=
.
Пример 3.7. Решить задачу Коши:
096 =+
′
+
′′
yyy
, (3.35)
1
0
=
=
x
y
,
5
0
−=
′
=
x
y
. (3.36)
Решение. Найдем сперва общее решение уравнения (3.35). Соста-
вим его характеристическое уравнение
096
2
=++
kk
. (3.37)
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Страницы